Wybór piecioosobowej delegacji

Frizze · Post autor: **Frizze** » 31 mar 2010, o 14:39

W skład rady uczniów wchodzi po dwóch przedstawicieli klas IIa, IIb, IIc, IIia, IIIb.
Na ile sposobów mozna wybrać pięcioosobowa delegację tej rady, jeśli przynajmniej jedna klasa ma byc reprezentowana przez dwóch uczniów?

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 31 mar 2010, o 18:35

Możemy wybrać do delegacji dwóch uczniów z jednej klasy na pięć sposobów, a trzech pozostałych na \(\displaystyle{ {8 \choose 3}}\) sposobów. Zatem wszystkich kombinacji jest \(\displaystyle{ 5 \cdot {8 \choose 3}}\).

miszczuskc · Post autor: **miszczuskc** » 13 lis 2010, o 15:45

Z tego wynika, że odpowiedź to 280. Odpowiedź na końcu książki 220. Próbowałem już różnie to rozwiązać, ale odpowiedź mi się nie zgadza.

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 13 lis 2010, o 16:00

tometomek91, Twoim sposobem liczysz wielokrotnie ten sam wybór. Np. wybierając najpierw dwójkę z klasy IIa i dobierając taką trójkę: dwójkę z klasy IIb i jedną osobę z klasy IIc będziesz miał tą samą delegację gdy wybierzesz najpierw dwójkę z klasy IIb i dobierzesz taką trójkę: dwójkę z klasy IIa i jedną osobę z klasy IIc.

Należy obliczyć sumę delegacji gdy tylko jedna z klas będzie reprezentowana przez dwie osoby (wybór klasy z której będą 2 osoby + wybór trzech klas z czterech pozostałych z której będzie po jednej osoby + wybór tych osób) oraz gdy dwie klasy będą reprezentowane przez 2 osoby (wybór 2 klas z pięciu + wybór jednej osoby z pozostałych klas)

miszczuskc · Post autor: **miszczuskc** » 13 lis 2010, o 16:53

Dlaczego nie jest dobre to rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 5 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 3+5 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2=60+120=180}\) ?
Najpierw wybieramy jedną osobę z którejkolwiek z klas (jest ich 5), stąd piątka. Następnie jedną osobę z tej samej (jeden wybór - stąd 1) i analogicznie z nasŧepnymi.

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 13 lis 2010, o 17:09

Rozumiem, że pierwszy składnik, to przypadek gdy są po dwie osoby z dwóch klas. Działanie jest niepoprawne (choć przypadkowo jest poprawny wynik), bo:

Jeżeli w 1 kroku wybierzemy dwie osoby z IIa a w drugim dwie osoby z IIc, to jest to taki sam wybór jakbyśmy wybrali najpierw dwie osoby z IIc a następnie dwie z IIa. Każdy przypadek masz więc uwzględniony dwukrotnie, czyli powinieneś mieć:

\(\displaystyle{ \frac{5 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 1}{2}}\)

To jest oczywiście to samo, co po prostu wybór 2 klas z 5 z których pójdą obydwie osoby, czyli \(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\).

Natomiast na ostatnią osobę delegacji możesz wybrać dowolną z pozostałych 6 osób (które są z 3 różnych klas). Jeżeli wybrałbyś najpierw 1 z 3 klas to jeszcze musiałbyś jeszcze wybrać 1 z 2 osób z tej klasy.

Zastanów się też nad drugim składnikiem. Po pierwsze weź pod uwagę, że nie jest istotna kolejność wyboru, a po drugie, że w przypadku wyboru klasy musisz jeszcze wybrać osobę z tej klasy.

miszczuskc · Post autor: **miszczuskc** » 13 lis 2010, o 17:27

Ehh.. teraz już nie wiem, gdzie się mylę. Sorry, jakoś chyba nie mój dzień..
\(\displaystyle{ {5 \choose 1} \cdot {8 \choose 3} =280}\)

W tym wyniku są zarówno przypadki, gdy jest po dwóch z jednej jak i z dwóch różnych klas, tak? Nie wiem, gdzie jest teraz błąd.. Wynik jest o 60 za duży.

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 13 lis 2010, o 17:37

miszczuskc pisze:W tym wyniku są zarówno przypadki, gdy jest po dwóch z jednej jak i z dwóch różnych klas, tak?

Nie.
Dlaczego nie zrobisz tego dokładnie wg napisanej wcześniej przez mnie wskazówki?

Ten podany przez Ciebie sposób liczenia uwzględnia niektóre przypadki wielokrotnie. Jeżeli np. ta wybrana na początku klasa to będzie IIa a 3 następne wybrane osoby to osoby z klas IIc, IIb, IIc, to jest to taka sama delegacja jak wybranie na początku klasy IIc a następnie osób z klas IIa, IIa, IIb.