Witam po długiej nieobecności
Ostatnio na studiach wykładowca dorzucił nam kilka rzeczy do udowodnienia w sposób rysowany lub opisowy. Siedzę nad jendym problemem już dość długo i dalej nie potrafie nic wymyslić więc zapodaje tutaj:)
zapiszemy najpierw rosnąco potem malejaco i pamietamy:
(n po k)===(n po [n-k])
0*(n po 0)+1*(n po 1)+ 2*(n po 2)+3*(n po 3)+...+n*(n po n) =S
n*(n po n)+(n-1)*(n po [n-1])+ (n-2)*(n po [n-2])++...+0*(n po 0)=S
i dodajemy stronami:
n*(n po 0)+n*(n po 1)+n*(n po 2)+..+ n*( n po n)=2S
n[(n po 0)+(n po 1)+(n po 2)+..+ ( n po n)]=2S
No fajnie do tego wzoru w ten sposób to ja sobie sam doszedłem.
Może jeszcze raz napisze tu nie chodzi o to by pokazać że to można sprowadzić skrócic obliczeniami, tylko przedstawić za pomoca konkretnego przypadku ze jedna lub druga strona przedstawia to samo i z tym mam problem. Lub narysowac jakieś zbiory i pokazać na nich, że L=P
\(\displaystyle{ 1*({n \choose 1}) +2*({n\choose 2}) + 3*({n\choose 3})+...+n*({n\choose n}) = n *2^{n-1}}\)
tutaj z pomoca przychodza nam pochodne bo gdy sie zróżniczkuje wzór: \(\displaystyle{ (1+x)^n = \bigsum_{k=0}^{n} {n\choose k}x^k}\) to wyjdzie nam takie bydle:
\(\displaystyle{ n(1+x)^{n-1} = \bigsum_{k=0}^{n} k{n\choose k}x^{k-1}}\)
i wstawiamy x=1