Problem z dowodem pewnego wzoru.

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
kaarol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 211
Rejestracja: 17 lis 2004, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koło Wadowic
Pomógł: 2 razy

Problem z dowodem pewnego wzoru.

Post autor: kaarol »

Witam po długiej nieobecności
Ostatnio na studiach wykładowca dorzucił nam kilka rzeczy do udowodnienia w sposób rysowany lub opisowy. Siedzę nad jendym problemem już dość długo i dalej nie potrafie nic wymyslić więc zapodaje tutaj:)

Kod: Zaznacz cały

 1*(n po 1) +2*(n po 2) + 3*(n po 3)+...+n*(n po n) = n *(2^(n-1))
Proszę nie pisać odpowiedzi w stylu wystarczy poskracać lub innych polegających na ścisłych obliczeniach.
Za pomoc z góry dziekuje[/code]
sushi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3424
Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 476 razy

Problem z dowodem pewnego wzoru.

Post autor: sushi »

zapiszemy najpierw rosnąco potem malejaco i pamietamy:

(n po k)===(n po [n-k])
0*(n po 0)+1*(n po 1)+ 2*(n po 2)+3*(n po 3)+...+n*(n po n) =S
n*(n po n)+(n-1)*(n po [n-1])+ (n-2)*(n po [n-2])++...+0*(n po 0)=S

i dodajemy stronami:

n*(n po 0)+n*(n po 1)+n*(n po 2)+..+ n*( n po n)=2S
n[(n po 0)+(n po 1)+(n po 2)+..+ ( n po n)]=2S

n* 2^n==2S
S==(n* (2^n))/2===n* 2^{n-1}
kaarol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 211
Rejestracja: 17 lis 2004, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koło Wadowic
Pomógł: 2 razy

Problem z dowodem pewnego wzoru.

Post autor: kaarol »

No fajnie do tego wzoru w ten sposób to ja sobie sam doszedłem.
Może jeszcze raz napisze tu nie chodzi o to by pokazać że to można sprowadzić skrócic obliczeniami, tylko przedstawić za pomoca konkretnego przypadku ze jedna lub druga strona przedstawia to samo i z tym mam problem. Lub narysowac jakieś zbiory i pokazać na nich, że L=P
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Problem z dowodem pewnego wzoru.

Post autor: mol_ksiazkowy »

\(\displaystyle{ 1*({n \choose 1}) +2*({n\choose 2}) + 3*({n\choose 3})+...+n*({n\choose n}) = n *2^{n-1}}\)
tutaj z pomoca przychodza nam pochodne bo gdy sie zróżniczkuje wzór:
\(\displaystyle{ (1+x)^n = \bigsum_{k=0}^{n} {n\choose k}x^k}\) to wyjdzie nam takie bydle:

\(\displaystyle{ n(1+x)^{n-1} = \bigsum_{k=0}^{n} k{n\choose k}x^{k-1}}\)
i wstawiamy x=1
ODPOWIEDZ