Rzucamy n razy kostką do gry (n>2). Czy liczba możliwości otrzymania sumy wszystkich wyrzuconych oczek nie większej niż n + 2 jest:
a) dla dowolnego n liczbą parzystą
b) liczbą parzystą, gdy n jest liczbą nieparzystą
c) równa \(\displaystyle{ 8k ^{2} + 8k + 10}\), gdy \(\displaystyle{ n= 4k + 3 ( k \in \mathbb{N}_{+})}\)
Doszłam do tego, że
suma = n gdy na wszystkich kostkach jest jedynka, więc
a) nie
b) nie
Tylko zostaje się jeszcze c) i nie mam pojęcia jak się za to zabrać
Rzucamy n razy kostką do gry (n>2). c)
-
- Użytkownik
- Posty: 120
- Rejestracja: 10 mar 2010, o 15:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 23 razy
Rzucamy n razy kostką do gry (n>2). c)
skoro rzucamy n razy,a suma wyrzuconych oczek ma być nie większa niż n+2,zatem jedyne mozliwości to 1.wypadają same jedynki 2. wypada n-1 jedynek i jedna dwójka 3.wypada n-1 jedynek i jedna trójka 4.wypada n-2 jedynek i dwie dwojki.
liczba możliwości takiego wyrzucenia równa jest dla punktu 1. 1 (bo tylko na jeden sposób można wyrzucić same jedynki) dla punktu 2. n , dla punktu 3. n, a dla punktu 4 \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2!}}\)
Zatem liczba wszystkich możliwości równa jest \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2} + 2n + 1 = n^{2} + 3n + 2}\)
Zatem a) i b) są prawdziwe. (bo gdy n jest nieparzyste,otrzymujemy sumę dwóch liczb nieparzystych i liczby parzystej (2 iloczyny liczb nieparzystych - \(\displaystyle{ n^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ 3n}\) Natomiast dla parzystych liczb jest to suma trzech liczb parzystych
Podstawiam n=4k+3 do poprzedniego równania
Wtedy \(\displaystyle{ (4k+3)^{2} + 3(4k+3) + 2 = 16k^{2} + 9 + 24k +12k + 9 + 2 = 16k^{2} + 36k + 20 = 8k^{2} + 18k + 10}\), zatem punkt c) nie jest prawdziwy
liczba możliwości takiego wyrzucenia równa jest dla punktu 1. 1 (bo tylko na jeden sposób można wyrzucić same jedynki) dla punktu 2. n , dla punktu 3. n, a dla punktu 4 \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2!}}\)
Zatem liczba wszystkich możliwości równa jest \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2} + 2n + 1 = n^{2} + 3n + 2}\)
Zatem a) i b) są prawdziwe. (bo gdy n jest nieparzyste,otrzymujemy sumę dwóch liczb nieparzystych i liczby parzystej (2 iloczyny liczb nieparzystych - \(\displaystyle{ n^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ 3n}\) Natomiast dla parzystych liczb jest to suma trzech liczb parzystych
Podstawiam n=4k+3 do poprzedniego równania
Wtedy \(\displaystyle{ (4k+3)^{2} + 3(4k+3) + 2 = 16k^{2} + 9 + 24k +12k + 9 + 2 = 16k^{2} + 36k + 20 = 8k^{2} + 18k + 10}\), zatem punkt c) nie jest prawdziwy