wybieranie podzbiorów 5-elementowych ze zbioru 20-el.

[Z_i_o_M_e_K]

Ile jest podziałów 20-elementowego zbioru na 4 podzbiory 5-elementowe, jeżeli zakładamy, że:
a) czwórka jest uporządkowana?
b) czwórka jest nieuporządkowana?

[Kapol]

a)
Tworzymy po prostu ciąg 4-elementowy ze zbiorów 5-cio elementowych.
\(\displaystyle{ C _{20} ^{5} \cdot C _{15} ^{5} \cdot C _{10} ^{5} \cdot C _{5} ^{5}= \frac{20!}{(5!)^4}}\)
b)
Tutaj do pomocy tworzymy taki sam ciąg i zauważamy, że:
Dla ustalonego ciągu zbiorów powtarza się on 4! razy. Np:
\(\displaystyle{ (a,b,c,d) (a,b,d,c) (a,c,b,d) (a,c,d,b) (a,d,b,c) (a,d,c,b) (b,a,c,d) ... (d,c,b,a)}\)
A skoro CZWÓRKA ma być nieuporządkowana to musimy wyzbyć się (4!-1) przypadków. Najlepiej przez podzielenie ilości przypadków przez 4!, więc
\(\displaystyle{ \frac{C _{20} ^{5} \cdot C _{15} ^{5} \cdot C _{10} ^{5} \cdot C _{5} ^{5}}{4!} = \frac{20!}{(5!)^4 \cdot 4!}}\)