1) Niech X,Y - dowolne skończone zbiory. Pokazać, że liczba surjekcji X -> Y jest równa
\(\displaystyle{ (#X)! \begin{cases} #X \\ #Y \end{cases} }}\) (To liczba Stirlinga, ale nie wiem jak zamknąć klamrę).
Gdzie #X oznacza moc zbioru X.
2) Pokazać, że dla dowolnego n naturalnego zachodzą następujące równości:
a) \(\displaystyle{ \sum_{k}(-1)^{k} [ \frac{n}{k}] = [n=0] - [n=1]}\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{k} k[ \frac{n}{k}] = n!H_{n}}\)
(Między nie powinno być kreski ułamkowej)
3) Niech \(\displaystyle{ B_{n}}\) oznacza n-tą liczbę Bella, z definicji równą liczbie podziałów n-elementowego zbioru na niepuste podzbiory. Udowodnić, że:
\(\displaystyle{ B_{n} = \frac{1}{e} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k^{n}}{k!}}\)
Bardzo proszę o pomoc.