Rozwiązać równanie rekurencyjne \(\displaystyle{ a_{0}= a_{1}=0, a_{2}=5}\), zaś \(\displaystyle{ a_{n}=-2 a_{n-1}- a_{n-2}-2 a_{n-3}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\). Obliczyć \(\displaystyle{ a_{n}}\)
Z jakiej zależności obliczamy współczynniki \(\displaystyle{ c_{1}, c_{2}}\) ?
Równanie rekurencyjne
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Równanie rekurencyjne
\(\displaystyle{ a_{n}=-2 a_{n-1}- a_{n-2}-2 a_{n-3}\\
a_{n+3}=-2 a_{n+2}- a_{n+1}-2 a_{n}}\)
Równanie charakterystyczne:
\(\displaystyle{ x^{3}+2x^{2}+x+2=0\\
(x+2) (x^{2}+1)=0\\
x=-2\\
a_{n}=A \cdot x^{n} +B \cdot x^{n} \cdot n +C \cdot x^{n} \cdot n^{2}\\
\begin{cases} 0=A \\ 0=-2A -2B -2C \\ 5= 4A +8B+16C \end{cases}\\
\begin{cases} A=0 \\ B=-\frac{5}{8} \\ C=\frac{5}{8} \end{cases}\\
a_{n}=-\frac{5}{8} \cdot (-2)^{n} \cdot n +\frac{5}{8} \cdot (-2)^{n} \cdot n^{2}}\)
a_{n+3}=-2 a_{n+2}- a_{n+1}-2 a_{n}}\)
Równanie charakterystyczne:
\(\displaystyle{ x^{3}+2x^{2}+x+2=0\\
(x+2) (x^{2}+1)=0\\
x=-2\\
a_{n}=A \cdot x^{n} +B \cdot x^{n} \cdot n +C \cdot x^{n} \cdot n^{2}\\
\begin{cases} 0=A \\ 0=-2A -2B -2C \\ 5= 4A +8B+16C \end{cases}\\
\begin{cases} A=0 \\ B=-\frac{5}{8} \\ C=\frac{5}{8} \end{cases}\\
a_{n}=-\frac{5}{8} \cdot (-2)^{n} \cdot n +\frac{5}{8} \cdot (-2)^{n} \cdot n^{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 6 maja 2008, o 20:19
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
Równanie rekurencyjne
Widzę, że kolega chciał dobrze, ale nie o to chodziło. To równanie charakterystyczne nie założyło rozwiązania w zbiorze liczb zespolonych. Czekam na inne propozycje
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Równanie rekurencyjne
yhm
\(\displaystyle{ ...\\
(x+2) (x^{2}+1)=0\\
x_{1}=-2 \vee x_{2}=i \vee x_{3}=-i}\)
Wtedy wzór ogólny bedzie miał postać:
\(\displaystyle{ a_{n}=A \cdot x_{1}^{n} +B \cdot \alpha^{n} +C \cdot \beta^{n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha,\ \beta}\) to rozwiązania równania w liczbach zespolonych.
\(\displaystyle{ ...\\
(x+2) (x^{2}+1)=0\\
x_{1}=-2 \vee x_{2}=i \vee x_{3}=-i}\)
Wtedy wzór ogólny bedzie miał postać:
\(\displaystyle{ a_{n}=A \cdot x_{1}^{n} +B \cdot \alpha^{n} +C \cdot \beta^{n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha,\ \beta}\) to rozwiązania równania w liczbach zespolonych.