Równanie rekurencyjne

[klimcia]

Rozwiązać równanie rekurencyjne \(\displaystyle{ a_{0}= a_{1}=0, a_{2}=5}\), zaś \(\displaystyle{ a_{n}=-2 a_{n-1}- a_{n-2}-2 a_{n-3}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\). Obliczyć \(\displaystyle{ a_{n}}\)

Z jakiej zależności obliczamy współczynniki \(\displaystyle{ c_{1}, c_{2}}\) ?

[tometomek91]

\(\displaystyle{ a_{n}=-2 a_{n-1}- a_{n-2}-2 a_{n-3}\\
a_{n+3}=-2 a_{n+2}- a_{n+1}-2 a_{n}}\)
Równanie charakterystyczne:
\(\displaystyle{ x^{3}+2x^{2}+x+2=0\\
(x+2) (x^{2}+1)=0\\
x=-2\\
a_{n}=A \cdot x^{n} +B \cdot x^{n} \cdot n +C \cdot x^{n} \cdot n^{2}\\
\begin{cases} 0=A \\ 0=-2A -2B -2C \\ 5= 4A +8B+16C \end{cases}\\
\begin{cases} A=0 \\ B=-\frac{5}{8} \\ C=\frac{5}{8} \end{cases}\\
a_{n}=-\frac{5}{8} \cdot (-2)^{n} \cdot n +\frac{5}{8} \cdot (-2)^{n} \cdot n^{2}}\)

[klimcia]

Widzę, że kolega chciał dobrze, ale nie o to chodziło. To równanie charakterystyczne nie założyło rozwiązania w zbiorze liczb zespolonych. Czekam na inne propozycje

[tometomek91]

yhm

\(\displaystyle{ ...\\
(x+2) (x^{2}+1)=0\\
x_{1}=-2 \vee x_{2}=i \vee x_{3}=-i}\)
Wtedy wzór ogólny bedzie miał postać:
\(\displaystyle{ a_{n}=A \cdot x_{1}^{n} +B \cdot \alpha^{n} +C \cdot \beta^{n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha,\ \beta}\) to rozwiązania równania w liczbach zespolonych.