Dwumianowy wzór Newtona

[Esiaczeq]

Wykaż że :\(\displaystyle{ {20\choose 0} + {20\choose 2} + {20\choose 4} + ... + {20\choose 18} + {20\choose 20} = 2^{19}}\)

[Sir George]

Prawdziwy jest wzór ogólniejszy:
\(\displaystyle{ {\sum_{k=0}^{n}} {2n \choose 2k} \ = \ 2^{2n-1}}\)


A wynika to stąd, że
\(\displaystyle{ {\sum_{k=0}^{n}} {2n \choose 2k} \ = \ \frac12\, ft({\sum_{k=0}^{2n}} {2n \choose k} \, + \, {\sum_{k=0}^{2n}} (-1)^k{2n \choose k} \, \right) \ = \ \frac12 \, \Big((1+1)^{2n}\, + \, (1-1)^{2n}\Big) \ = \ 2^{2n-1}}\)

[Esiaczeq]

niestety nie o to chodziło....

[Tristan]

Rozwiązanie podane przez Sir George'a jest poprawne, ale moża inaczej.
Popatrzmy na wzór dwumianowy Newtona:
\(\displaystyle{ (a+b)^n={n \choose 0} a^n b^0 + { n \choose 1} a^{n-1} b^1 +... + { n \choose k} a^{n-k} b^k +... + { n \choose n-1} a^1 b^{n-1} + {n \choose n} a^0 b^n}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ a=b=1, n=20}\), a otrzymamy:
\(\displaystyle{ (1+1)^{20}={20 \choose 0} 1^{20} \cdot 1^0+ { 20 \choose 1} 1^{19} \cdot 1^1 +.... + {20 \choose 19} 1^1 \cdot 1^{19} + {20 \choose 20} 1^0 \cdot 1^{20}}\)
A to jest po prostu:
(*)\(\displaystyle{ 2^{20}={20 \choose 0} + {20 \choose 1} + {20 \choose 2} +.... + {20 \choose 19}+{20 \choose 20}}\)
Weźmy teraz \(\displaystyle{ a=1, b=-1, n=20}\) a otrzymamy:
\(\displaystyle{ 0= {20 \choose 0} - {20 \choose 1} +{20 \choose 2} - {20 \choose 3} +... -{ 20 \choose 19} +{20 \choose 20}}\)
Mamy z tego, że:
\(\displaystyle{ {20 \choose 0} + {20 \choose 2} + ....+ { 20 \choose 18} + {20 \choose 20}={ 20 \choose 1} + { 20 \choose 3} +... + { 20 \choose 17} + {20 \choose 19}}\)
Podstawiając to do (*) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2 \cdot {20 \choose 0} + 2 \cdot {20 \choose 2} + ... + 2 \cdot { 20 \choose 18} + 2 \cdot {20 \choose 20}=2^{20}}\)
A dzieląc obustronnie przez 2 otrzymujemy tezę zadania, cnd.