równanie charakterystyczne

bartol01 · Post autor: **bartol01** » 25 lut 2010, o 18:55

Jak wyznaczyć postać jawną wzoru rekurencyjnego
\(\displaystyle{ a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}+1}\)
Jest to ciąg Fibonacciego tylko zwiększany o 1.
Nie potrafię wyznaczyć z tego równania charakterystycznego

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 25 lut 2010, o 20:41

\(\displaystyle{ x^{2}=x+1\\
x^{2}-x+1=0\\
a_{n}=\alpha^{n} \cdot A + \beta^{n} \cdot B}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) to pierwiastki zespolone w/w równania:
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{1-i\sqrt{3}}{2},\ \ \beta=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}}\)

25578.htm

Dumel · Post autor: **Dumel** » 25 lut 2010, o 20:50

podstawiasz \(\displaystyle{ a_n=b_n-1}\) i dalej łatwo bo stała znika i masz zwykłe równanie charakterystyczne

a powyższe rozwiązanie jest błędne bo nie uwzględnia tej jedynki

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 25 lut 2010, o 21:06

No tak, dzięki!

bartol01 · Post autor: **bartol01** » 25 lut 2010, o 22:25

po podstawieniu
\(\displaystyle{ a_{n}=b_{n}-1}\)
otrzymuje
\(\displaystyle{ a_{n+2} = a_{N+1}+b_{n}}\)
a następnie
\(\displaystyle{ a^{n+2}-a^{n+1}-b^{n}=0}\)
i jak to dalej rozwiązac?

Dumel · Post autor: **Dumel** » 26 lut 2010, o 14:15

źle, pozbywasz się wszystkich \(\displaystyle{ a}\), aby otrzymać
\(\displaystyle{ b_{n+2}=b_{n+1}+b_n}\)

bez żadnych podstawień sprawe można też załatwić funkcją tworzącą