Mam rozwiązać równanie rekurencyjne metodą repertuaru:
\(\displaystyle{ S_0=0\newline
S_n=S_{n-1}+n^3}\)
I nie rozumie jak się dobiera współczynniki do równania wielomianowego.
Proszę o pomoc.
H.W.
metoda repertuaru
-
hubertwojtowicz
- Użytkownik
- Posty: 269
- Rejestracja: 29 wrz 2008, o 16:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa\Słupsk
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 32 razy
-
Dumel
- Użytkownik
- Posty: 2000
- Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 202 razy
metoda repertuaru
rozważmy rekurencje
\(\displaystyle{ S_0=0}\)
\(\displaystyle{ S_{n+1}=S_n+an^3+bn^2+cn+d}\)
rozwiązanie ma postać \(\displaystyle{ S_n=aA(n)+bB(n)=cC(n)+dD(n)}\)
wstawiamy teraz za \(\displaystyle{ S_n}\) jakąś sympatyczną funkcje i sprawdzamy czy da sie dobrac a,b,c,d aby pasowało.
spróbujmy \(\displaystyle{ S_n=n^2}\)-dostajemy \(\displaystyle{ 2n+1=an^3+bn^2+cn+d}\) więc mozemy wziac a=0, b=0, c=2, d=1 co daje nam:
\(\displaystyle{ 2C(n)+D(n)=n^2}\)
podobnie dostaniemy
\(\displaystyle{ D(n)=n}\)
\(\displaystyle{ 3B(n)+3C(n)+D(n)=n^3}\)
\(\displaystyle{ n^4=4A(n)+6B(n)+4C(n)+D(n)}\)
teraz możemy wyliczyć funkcje A,B,C,D i wstawić a=1,b=c=d=0
\(\displaystyle{ S_0=0}\)
\(\displaystyle{ S_{n+1}=S_n+an^3+bn^2+cn+d}\)
rozwiązanie ma postać \(\displaystyle{ S_n=aA(n)+bB(n)=cC(n)+dD(n)}\)
wstawiamy teraz za \(\displaystyle{ S_n}\) jakąś sympatyczną funkcje i sprawdzamy czy da sie dobrac a,b,c,d aby pasowało.
spróbujmy \(\displaystyle{ S_n=n^2}\)-dostajemy \(\displaystyle{ 2n+1=an^3+bn^2+cn+d}\) więc mozemy wziac a=0, b=0, c=2, d=1 co daje nam:
\(\displaystyle{ 2C(n)+D(n)=n^2}\)
podobnie dostaniemy
\(\displaystyle{ D(n)=n}\)
\(\displaystyle{ 3B(n)+3C(n)+D(n)=n^3}\)
\(\displaystyle{ n^4=4A(n)+6B(n)+4C(n)+D(n)}\)
teraz możemy wyliczyć funkcje A,B,C,D i wstawić a=1,b=c=d=0