liczba dzieląca symbol Newtona

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
kamzeso
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 31 maja 2009, o 13:32
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy

liczba dzieląca symbol Newtona

Post autor: kamzeso »

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą i liczba naturalna \(\displaystyle{ k}\) spełnia nierówności \(\displaystyle{ 0<k<p}\), to \(\displaystyle{ p}\) dzieli symbol Newtona \(\displaystyle{ p}\) nad \(\displaystyle{ k}\).
Uwaga. Nie wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ p}\) dzieli licznik sumbolu Newtona.

proszę o pomoc..
behemoth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 128
Rejestracja: 13 lut 2010, o 00:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 17 razy

liczba dzieląca symbol Newtona

Post autor: behemoth »

Liczba p jest liczbą pierwszą więc dzieli się przez 1 i samą siebie. Dodatkowo: \(\displaystyle{ {p \choose k} = \frac{p!}{k!(p-k)!}= \frac{1\cdot2\cdot...\cdot p}{k!(p-k)!}=p\frac{1\cdot2\cdot...\cdot (p-1)}{k!(p-k)!} = p\cdot k, \ k \in \mathbb{Z}}\)
Zauważ, że licznik jest podzielny przez\(\displaystyle{ p}\) oraz z tego, że \(\displaystyle{ k<p \wedge p-k<p \Rightarrow mianownik \ nie \ moze \ byc \ podzielny \ przez \ p}\)
A zatem
\(\displaystyle{ {p \choose k}}\) jest podzielne przez p
kamzeso
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 31 maja 2009, o 13:32
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy

liczba dzieląca symbol Newtona

Post autor: kamzeso »

dzięki, ale właśnie przez tą uwagę w treści, "Nie wystarczy wykazać, że p dzieli licznik symbolu Newtona" nie wiem jak to zrobić. A Twoje rozwiązanie chyba niestety pomija tą uwagę..
behemoth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 128
Rejestracja: 13 lut 2010, o 00:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 17 razy

liczba dzieląca symbol Newtona

Post autor: behemoth »

symbol Newtona jest zawsze liczbą całkowitą i według mnie, żeby pokazać, że dzieli się przez p wystarczy pokazać, że w rozkładzie na czynniki pierwsze tej liczby występuje p i ja to wykazałem....
ODPOWIEDZ