Zadanie z dwumianem Newtona 2

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Tryton
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 7 wrz 2006, o 20:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pieńsk

Zadanie z dwumianem Newtona 2

Post autor: Tryton »

Witam. Muszę wyznaczyć współczynnik, który występuje przy x^60 w rozkładzie (x^8 + x^-4)^12. Nie umiem sobie z tym poradzieć. Podobne zadnie było w poprzednim poście, ale nie wiem jak mam się do tego odnieść przy ujemnej potędze i potędzę większej niż 2. Proszę o pomoc!
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Zadanie z dwumianem Newtona 2

Post autor: mol_ksiazkowy »

\(\displaystyle{ (x^8+\frac{1}{x^4})^12= \bigsum_{k=0}^{12} {12\choose k} x^{8k} (\frac{1}{x^4})^{12-k}=\bigsum_{k=0}^{12} {12\choose k} x^{9k-12}}\)
wiec... \(\displaystyle{ 9k-12=60}\), tj k=8,
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2006, o 21:55 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 1 raz.
jasny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 845
Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Limanowa
Pomógł: 191 razy

Zadanie z dwumianem Newtona 2

Post autor: jasny »

Dokładnie tak samo... \(\displaystyle{ (x^8+x^{-4})^{12}=x^{-48}(x^{12}+1)^{12}}\). Teraz szukasz współczynnika przy \(\displaystyle{ x^{60+48}=x^{108}}\). W nawiasie masz \(\displaystyle{ x^{12}}\), więc we wzorze \(\displaystyle{ {n \choose {n-k}}}\) za k nie podstawiasz 108, tylko 108/12=9, natomiast n=12. \(\displaystyle{ {12\choose9}=220}\), będzie to więc \(\displaystyle{ 220x^{60}}\)
ODPOWIEDZ