dwumian Newtona (ale troche dziwny)

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
majchrzu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 9 sie 2006, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

dwumian Newtona (ale troche dziwny)

Post autor: majchrzu »

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n:
(n po 0)� + (n po 1)� + ...+ (n po n)� = (2n po n)

Wydaje mi sie że można to w jakiś sposób przez indukcje zrobić ale mi nie wychodzi. Sposób dowodu jest mi obojętny.
Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

dwumian Newtona (ale troche dziwny)

Post autor: Sir George »

Zauważ, że
\(\displaystyle{ (x+1)^n \ = \ {\sum\limits_{k=0}^n} x^k}\)

Zatem
\(\displaystyle{ (x+1)^n(x^{-1}+1)^n \ = \ {\sum\limits_{k=0}^n}\, {\sum\limits_{j=0}^n} \, {n\choose j} x^{k-j}}\)

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)\ = \ x^n(x+1)^n(x^{-1}+1)^n}\) jest wielomianem, co więcej

\(\displaystyle{ \frac{d^n}{dx^n} f(0) \ = \ n! \, {\sum\limits_{k=0}^n} ^2}\)


Z drugiej strony \(\displaystyle{ f(x) \ = (x+1)^{2n}}\), skąd
\(\displaystyle{ \frac{d^n}{dx^n} f(0) \ = \ n!\, {2n \choose n}}\) QED
majchrzu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 9 sie 2006, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

dwumian Newtona (ale troche dziwny)

Post autor: majchrzu »

A czy znasz moze sposób żeby to udowodnić nie wykorzystując pochodnej bo niestety to jest dla osoby z liceum która nie zna jeszcze pochodnej :/
Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

dwumian Newtona (ale troche dziwny)

Post autor: Sir George »

Pisałem, że \(\displaystyle{ x^n(1+x)^n(1+x^{-1})^n}\) jest wielomianem.

Popatrz na współczynnik przy \(\displaystyle{ x^n}\)....
ODPOWIEDZ