Witam. W jaki sposób mogę rozwiazać taką zależność rekurencyjną:
\(\displaystyle{ a _{n} + 2a _{n-1} = n+3\ dla\ n>0}\)
z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ a _{0} = 3}\).
ogólnie w jaki sposób rozwiązuje się równania rekurencyjne ze stałą tak jak tutaj??
bo chyba za pomocą równania charakterystycznego się nie da, chyba że się mylę..
proszę o pomoc..
zależność rekurencyjna
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
zależność rekurencyjna
nie da się równaniem charakterystycznym, ja znam dwie ogólne metody: anihilatory i funkcje tworzące i czasem da się też jakoś sprytniej, która z metod była na wykładzie (może jakaś inna).
-
- Użytkownik
- Posty: 65
- Rejestracja: 31 maja 2009, o 13:32
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
zależność rekurencyjna
aha, ok.
Więc teraz przy funkcji tworzącej to \(\displaystyle{ n+3}\) jak będzie wyglądało??
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty} n+3 = ??}\)
Więc teraz przy funkcji tworzącej to \(\displaystyle{ n+3}\) jak będzie wyglądało??
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty} n+3 = ??}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
zależność rekurencyjna
A gdyby tak zastosować sobie przesunięcie liniowe: \(\displaystyle{ a_{n} = b_{n} + xn + y}\)
Wtedy otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ b_{n} + xn + y + 2b_{n-1} + 2x(n-1) + 2y = n+3 \\ b_{n} + 2b_{n-1} = n(1 - 3x) + 3 - 3y +2x}\)
Stąd widać, że wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ x = \frac{1}{3}, y = \frac{11}{9}}\), a otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ b_{n} = -2b_{n-1}}\)
Czyli równanie definiujące ciąg geometryczny.
Wtedy otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ b_{n} + xn + y + 2b_{n-1} + 2x(n-1) + 2y = n+3 \\ b_{n} + 2b_{n-1} = n(1 - 3x) + 3 - 3y +2x}\)
Stąd widać, że wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ x = \frac{1}{3}, y = \frac{11}{9}}\), a otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ b_{n} = -2b_{n-1}}\)
Czyli równanie definiujące ciąg geometryczny.