zależność rekurencyjna

kamzeso · Post autor: **kamzeso** » 31 sty 2010, o 11:53

Witam. W jaki sposób mogę rozwiazać taką zależność rekurencyjną:
\(\displaystyle{ a _{n} + 2a _{n-1} = n+3\ dla\ n>0}\)
z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ a _{0} = 3}\).

ogólnie w jaki sposób rozwiązuje się równania rekurencyjne ze stałą tak jak tutaj??
bo chyba za pomocą równania charakterystycznego się nie da, chyba że się mylę..

proszę o pomoc..

Zordon · Post autor: **Zordon** » 31 sty 2010, o 12:30

nie da się równaniem charakterystycznym, ja znam dwie ogólne metody: anihilatory i funkcje tworzące i czasem da się też jakoś sprytniej, która z metod była na wykładzie (może jakaś inna).

kamzeso · Post autor: **kamzeso** » 31 sty 2010, o 13:43

aha, ok.
Więc teraz przy funkcji tworzącej to \(\displaystyle{ n+3}\) jak będzie wyglądało??
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty} n+3 = ??}\)

Rogal · Post autor: **Rogal** » 31 sty 2010, o 13:51

A gdyby tak zastosować sobie przesunięcie liniowe: \(\displaystyle{ a_{n} = b_{n} + xn + y}\)
Wtedy otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ b_{n} + xn + y + 2b_{n-1} + 2x(n-1) + 2y = n+3 \\ b_{n} + 2b_{n-1} = n(1 - 3x) + 3 - 3y +2x}\)
Stąd widać, że wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ x = \frac{1}{3}, y = \frac{11}{9}}\), a otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ b_{n} = -2b_{n-1}}\)
Czyli równanie definiujące ciąg geometryczny.