Kombinatoryka (permutacje, wariacje, kombinacje)

czarny1989 · Post autor: **czarny1989** » 28 sty 2010, o 18:20

Witam. Mam do rozwiązania kilka zadań, ale nie wiem kiedy użyć permutacji, wariacji czy kombinacji :/ Czym w ogóle to się różni?
Prosiłbym o pomoc w zadaniach (napisałem przy zadaniach własne odpowiedzi, mogą być złe), oto one:

Mamy 3 pary spodni i 4 koszulki. Na ile sposobów możemy się ubrać?
Odp. Tak na ludzki rozum to wystarczy pomnożyć 3 * 4 = 12 sposobów

Ile jest permutacji zbioru 5-cio elementowego?
Odp. Podstawiamy do wzoru \(\displaystyle{ P _{n} = n!}\) i wychodzi nam \(\displaystyle{ P _{5} = 5! = 120}\)

Na ile sposobów możemy zaparkować 10 samochodów na 10 miejscach parkingowych?
Odp. Tutaj wydaje mi się, że też możemy użyć permutacji, czyli \(\displaystyle{ P _{10} = 10! = 3 628 880}\)

Rzucamy monetami 2, 3, 4, n. Ile mamy możliwych wyników?
Odp. Nie wiem czy rzucamy nimi pojedynczo, czy wszystkimi na raz. Jeśli pojedynczo to z każdego rzutu monetą będą 2 możliwości - wypadnie orzeł albo reszka. Hmm... sam już nie mam pojęcia jak to rozwiązać. To zadanie jest jakieś dziwne...

Z talii 52 kart losujemy jedną, zwracamy ją, karty tasujemy I losujemy drugą. Ile jest możliwych wyników?
Odp. Jeśli mamy 52 karty i losujemy jedną, zwracamy ją i losujemy kolejną spośród 52 to wynik będzie równy \(\displaystyle{ 52 ^{2} = 2704}\). Używamy chyba wariacji z powtórzeniami.

W urnie znajduje się 6 kul ponumerowanych liczbami 1-6. Losujemy kolejno 4 kule, zwracając je za każdym razem, po zapisaniu ich numerów. Ile różnych 4 cyfrowych liczb możemy otrzymać?
Odp. Używamy wariacji bez powtórzeń? A może kombinacji? Proszę o pomoc

5 studentów zdaje egzamin. Wiadomo, że żaden nie otrzyma oceny niedostatecznej. Iloma sposobami można wystawić im ceny?
Odp. Ja tutaj użyłem wariacji z powtórzeniami, czyli \(\displaystyle{ 5^{4} = 720}\)

Ile możemy ułożyć parzystych liczb 4 cyfrowych z cyfr 0-9?
Odp. \(\displaystyle{ 5 * 6 * 6 * 6 = 1080}\)

Ile jest różnych liczb 4-cyfrowych o niepowtarzających się cyfrach?
Odp. \(\displaystyle{ 9 * 9 * 7 * 6 = 3402}\)

Do pracy zgłosiło się 20 tłumaczy. Wśród nich 11 znało języki rosyjski, 10 znało hiszpański i 12 angielski. 7 z nich znało język rosyjski i hiszpański, 5 znało hiszpański i angielski, a 6 znało rosyjski i angielski. Wszystkie trzy wymienione języki znało tylko 3 tłumaczy. Ilu z nich nie znało żadnego z wymienionych języków?
Odp. Tutaj totalnie się pogubiłem

Do pracy zgłosiło się 15 tłumaczy znających języki rosyjski, hiszpański lub angielski: 12 z nich znało język rosyjski lub hiszpański, a 10 znało angielski. Ilu z nich znało języki hiszpański i angielski, ale nie znało rosyjskiego, jeśli wiadomo, że 4 znało rosyjski i angielski?
Odp. Tak samo jak wyżej -- 29 sty 2010, o 09:52 --Pomoże ktoś ?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 30 sty 2010, o 09:20

Trzy pierwsze rozwiązania są OK.

Rzucamy monetami 2, 3, 4, n. Ile mamy możliwych wyników?

Czy to jest oryginalna, pełna treść zadania?

Piąte zadanie - rozwiązanie jest OK

W urnie znajduje się 6 kul ponumerowanych liczbami 1-6. Losujemy kolejno 4 kule, zwracając je za każdym razem, po zapisaniu ich numerów. Ile różnych 4 cyfrowych liczb możemy otrzymać?
Odp. Używamy wariacji bez powtórzeń? A może kombinacji? Proszę o pomoc

Tutaj należy wykorzystać wariacje z powtórzeniami.

5 studentów zdaje egzamin. Wiadomo, że żaden nie otrzyma oceny niedostatecznej. Iloma sposobami można wystawić im ceny?
Odp. Ja tutaj użyłem wariacji z powtórzeniami, czyli \(\displaystyle{ 5^{4} = 720}\)

Tutaj chyba dobrze myślałeś, ale jakie oceny mogli otrzymać studenci? Generalnie na studiach są oceny 2;3;4;5 czyli w tym zadaniu mogli otrzymać oceny 3;4;5 (?), ale wszystko zależy od odpowiedzi na pytanie jakie oceny mogli otrzymać?

... ale nie wiem kiedy użyć permutacji, wariacji czy kombinacji

Wszystko zależy co jest wynikiem doświadczenia:

- jeżeli jest to zbiór elementów które nie mogą się powtarzać (czyli nie liczy się kolejność tylko "zawartość" i każdy element musi być inny) to są to kombinacje bez powtórzeń

- jeżeli jest to zbiór elementów które mogą się powtarzać (czyli nie liczy się kolejność tylko "zawartość" ale elementy mogą być dowolne) to są to kombinacje z powtórzeniami

- jeżeli jest to ciąg elementów które nie mogą się powtarzać (czyli liczy się kolejność i każdy element musi być inny) to są to wariacje bez powtórzeń

- jeżeli jest to ciąg elementów które mogą się powtarzać (czyli liczy się kolejność i elementy mogą być dowolne) to są to wariacje z powórzeniami

- jeżeli jest to uporządkowanie całego zbioru (wszystkich elementów), to są to permutacje.

Na razie tyle.

-- 30 sty 2010, o 09:45 --

Do pracy zgłosiło się 20 tłumaczy. Wśród nich 11 znało języki rosyjski, 10 znało hiszpański i 12 angielski. 7 z nich znało język rosyjski i hiszpański, 5 znało hiszpański i angielski, a 6 znało rosyjski i angielski. Wszystkie trzy wymienione języki znało tylko 3 tłumaczy. Ilu z nich nie znało żadnego z wymienionych języków?

Tutaj najlepiej pomóc sobie rysunkiem:

: AU; prawdop_1.jpg (21.01 KiB) Przejrzano 287 razy

Zaznacz na nim zbiory oznaczające znajomość poszczególnych języków za pomocą okręgów (R, H, A) i teraz wypełnij odpowiednimi liczbami kolejne pola:
- na początek "3" w polu będącym częścią wspólną R, H i A (tyle osób zna wszystkie języki)
- na części wspólnej R i H gdzie powinno być 7 osób są już 3 - dopisujemy więc brakujące 4 osoby (to są te które znają rosyjski i hiszpański ale nie znają angielskiego)
- analogicznie na części wspólnej H i A dopisujemy 2 (5-3) oraz R i A dopisujemy 3 (6-3)
- na koniec dopisujemy liczby oznaczające osoby znające tylko jeden język. W kółku R dopisujemy 1 (jest tam już 10 osób a rosyjski zna 11) i analogicznie dla H - 1 oraz dla A - 4.
- teraz policz ile jest wszystkich osób na rysunku i wszystko będzie jasne.-- 30 sty 2010, o 10:58 --

Ile możemy ułożyć parzystych liczb 4 cyfrowych z cyfr 0-9?
Odp. 5 * 6 * 6 * 6 = 1080

Skąd masz ten iloczyn?

W tym przykładzie dwie środkowe cyfry mogą być dowolne natomiast w wyborze pierwszej i ostatniej są pewne ograniczenia.

Pierwsza cyfra musi być różna od zera a ostatnia parzysta. Rozdzielmy więc zbiór tych liczb na dwa zbiory: A - pierwsza nieparzysta B - pierwsza parzysta:

A: pierwszą cyfrę (nieparzystą) możemy wybrać na 5 sposobów, ostatnią (parzystą) na 5 sposobów, drugą i trzecia mogą być dowolne, czyli wszystkich możliwości wyboru liczby parzystej mającej na pierwszym miejscu liczbę nieparzystą jest:

\(\displaystyle{ 5 \cdot 5 \cdot 10 \cdot 10=...}\)

B: pierwszą cyfrę (parzystą) możemy wybrać na 4 sposoby (wszystkie cyfry parzyste oprócz zera), ostatnią (parzystą) na 5 sposobów, drugą i trzecia mogą być dowolne, czyli wszystkich możliwości wyboru liczby parzystej mającej na pierwszym miejscu liczbę parzystą jest:

\(\displaystyle{ 4 \cdot 5 \cdot 10 \cdot 10=...}\)

Teraz wystarczy dodać te liczby.

Ile jest różnych liczb 4-cyfrowych o niepowtarzających się cyfrach?
Odp. 9 * 9 * 7 * 6 = 3402

Pierwszą cyfrę możemy wybrać na 9 sposobów (oprócz zera), drugą spośród 9 z pozostałych, trzecią z 8 a czwartą z 7, czyli wszystkich możliwości jest:

\(\displaystyle{ 9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7=...}\)