Ilość liczb czterocyfrowych z jednym 0 i 1.

[Marcinek665]

Mam takie zadanie.

Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1?

Liczę sobie \(\displaystyle{ V ^{k} _{n} = \frac{n!}{(n-k)!}}\) i wychodzi 3024. Dobry tok rozumowania? Wiem również, że powinienem wyrzucić sposób zapisu, w którym 0 byłoby na początku liczby, ale nie mam za bardzo pomysłu, jak to zrobić.

Proszę o pomoc

[kadiii]

Swojego sposobu nawet nie oznaczyłeś więć trudno weryfikować tok rozumowania. najłatwiej chyba obliczyć to w takiej formie:
dokładnie jedna 1: rozpatrzmy 2 sytuacje - 1 na pierwszym miejscu lub 1 na jednym z kolejnych miejsc:
mamy więc \(\displaystyle{ 1 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9}\) (1 na pierwszym, na kolejnych cyfry {0,..,9}/{1}) + \(\displaystyle{ 8 \cdot {3 \choose 1} \cdot 9 \cdot 9}\) (na pierwszej pozycji cyfry {2,...,9} na kolejnych 1 na jednym z 3 i na pozostałych cyfry {0,..,9}/{1}.
dokładnie jedno 0:\(\displaystyle{ 9 \cdot {3 \choose 1} \cdot 9 \cdot 9}\) (na pierwszym miejscu cyfry od {1,..,9} na kolejnych 0 na jednej z 3 pozycji i cyfry{0,...,9}na pozostałych)

W sumie mamy więc: \(\displaystyle{ 1 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 + 8 \cdot {3 \choose 1} \cdot 9 \cdot 9}\) + \(\displaystyle{ 9 \cdot {3 \choose 1} \cdot 9 \cdot 9 = 4860}\)

[Marcinek665]

Zrobiłem to w ten sposób. Liczbę 4 cyfrową zinterpretowałem, jako zbiór 4 elementowy, dla którego wyrazami były cyfry ze zbioru \(\displaystyle{ \{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}}\). Teraz liczę ilość wariacji bez powtórzeń (bo 0 i 1 występują tylko raz w tej liczbie) i wychodzi mi to, co napisałem w pierwszym poście.

Są tylko 2 problemy:
-licząc ilość wariacji bez powtórzeń, nie uwzględniam liczb typu 1055, bo 5 występuje 2 razy.
-przyjmuję, że istnieją liczby typu 0123 (0 jest na pierwszym miejscu), co jest błędem.

A zadanie jest dla gimnazjum, więc teoretycznie powinno iść bez stosowania dwumianu newtona i kombinatoryki.

[kadiii]

Twoje rozwiązanie ma w sobie pewien pomysł, ale w tym wypadku jednak raczej bezużyteczny. Co do mojego rozwiązania to myślę, że nie ma w nim jakiejś wybitnej kombinatoryki(symbol newtona(nie dwumian! )można zastąpić zwykłym mnożeniem przez 3 i można je łatwo uzasdnić - 3 różne sytuacje ulokowania pewnej cyfry w liczbie). Nie wiem jak powinno wyglądać rozwiązanie na poziomie gimnazjalnym - myślę, że chodzi jednynie o większą intuicyjnosć rozwiązania zamiast zwartego zapisu(którego ja również nie użyłem).