Wykzać poprawność równania

[rafal_85]

Witam. Zrobiłem zadanie i chciałbym, żeby ktoś to sprawdził, bo nie jestem pewien, czy wszystko jest dobrze.
Trzeba udowodnić poprawność równania.

\(\displaystyle{ 2 \cdot 1 ^{2}+3 \cdot 2^{2}+4 \cdot 3 ^{2} +...+n \left (n-1\right) ^{2}+ \left(n+1 \right) n ^{2} = \frac{n \left(n+1 \right) \left(n+2\right) \left(3n+1 \right) }{12}}\)


n=1
\(\displaystyle{ n \left (n-1\right) ^{2}+ \left(n+1 \right) n ^{2} = \frac{n \left(n+1 \right) \left(n+2\right) \left(3n+1 \right) }{12}}\)

2=2
L=P

Warunek początkowy:
\(\displaystyle{ n _{0}=1 \Rightarrow 2 \Leftrightarrow 2

n _{0}=2 \Rightarrow 3 \Leftrightarrow 3}\)


Założenie:
Zakładamy, że równanie jest prawdziwe dla pewnej dodatniej liczby naturalnej „k”.

\(\displaystyle{ 2 \cdot 1 ^{2}+3 \cdot 2^{2}+4 \cdot 3 ^{2} +...+ k(k-1) ^{2}+(k+1) \cdot k ^{2} = \frac{k(k+1)(k+2(3k+1)}{12}}\)


Teza indukcyjna, twierdzenie dla k+1:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 1 ^{2}+3 \cdot 2^{2}+4 \cdot 3 ^{2} +...+ (k+1)(k) ^{2}+(k+2) \cdot (k+1) ^{2} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)(3k+4)}{12}}\)

Krok indukcyjny:
Jeśli twierdzenie jest prawdziwie dla k, jest także prawdziwe dla k+1:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 1 ^{2}+3 \cdot 2^{2}+4 \cdot 3 ^{2} +...+ k(k-1) ^{2}+(k+1) \cdot k ^{2} =

2 \cdot 1 ^{2}+3 \cdot 2^{2}+4 \cdot 3 ^{2} +...+
+ (k+1)(k) ^{2}+(k+2) \cdot (k+1) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ (k+2)(k+1)^2= \frac{(k+1) \left(k+2 \right) \left(k+3\right) \left(3k+4 \right) }{2}- \frac{k\left(k+1 \right) \left(k+2\right) \left(3k+1 \right) }{2}\Leftrightarrow (k+1)= \frac{ \left(k+3\right) \left(3k+4 \right) }{2}- \frac{k\left(3k+1 \right) }{2}}\)

\(\displaystyle{ \left( k+1\right) = \frac{12k+12}{12}

\left(k+1 \right) =k+1}\)

L=P

[czekoladowy]

Jest Git.