Na ile sposobów i szuflady z kulami

[Vivien]

Mam problem z tymi dwoma zadaniami, proszę o podpowiedź jak się za nie zabrać.

1. Na ile sposobów można podzielić ośmioosobową grupę na dwie równe liczebnie grupy?

2.Dziesięć różnych kul wrzucamy do szuflad. Oblicz na ile sposobów można to zrobić, jeżeli:
a)są dwie szuflady i w pierwszej szufladzie ma się znaleźć 8 kul , a w drugiej 2 kule.
b)są trzy szuflady i w pierwszej szufladzie ma się znaleźć 5 kul, w drugiej 3 kule, a w trzeciej 2 kule.

[magda_s235]

zadanie 1
\(\displaystyle{ {8 \choose 4}\)
zadanie 2
a)\(\displaystyle{ {10\choose 8} \cdot {2 \choose 2}}\)
b)\(\displaystyle{ {10 \choose 5} \cdot {5 \choose 3} \cdot {2 \choose 2}}\)

[Vivien]

Dziękuje, czyli z tego co rozumiem w pierwszym zadaniu mam zastosować wzór na kombinacje bez powtórzeń?
C\(\displaystyle{ \C_{n}^{k}}\)? i podliczyć?

[mat_61]

zadanie 1
\(\displaystyle{ {8 \choose 4}\)

To rozwiązanie nie jest poprawne:

1) Wybieramy 4 osoby z 8 (czyli kombinacja 4-elementowa ze zbioru 8-elementowego) i to jest OK. Ale otrzymaną wartość dzielimy przez 2 bo zakładamy (tak jest w treści zadania), że nie rozróżniamy grupy wybranej i tej, która została. Liczy się tylko "zawartość" grupy.
Jeżeli np. wybierzemy osoby 1,3,4,6 - czyli w drugiej grupie zostaną osoby 2,5,7,8 to jest to taki sam podział jakbyśmy wybrali osoby 2,5,7,8 a w drugiej grupie zostałyby osoby 1,2,4,6. Widać więc, że w rozwiązaniu podanym przez magdę_s235 każdy podział jest liczony dwa razy.

Inaczej wyglądałaby sytuacja gdyby te grupy były rozróżnialne np. byłyby to drużyny sportowe i jedna grała w mistrzostwach w grupie A, a druga w grupie B (albo jedna grupa jechała na zgrupowanie do Kielc a druga do Madrytu). Wówczas przykładowy podział 1,3,4,6 - grupa A i 2,5,7,8 - grupa B oraz podział 1,3,4,6 - grupa B i 2,5,7,8 - grupa A byłby oczywiście różny i podane przez magdę_s235 rozwiązanie byłoby poprawne.

[Vivien]

Dziękuje

[magda_s235]

Jeśli rozważymy mniejszą liczbę osób czyli 1 2 3 4 to wybierając na piechotę mamy takie możliwości
1 2;1 3; 1 4; 2 3; 2 4; 3 4 jest ich 6 tyle samo co z \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\).
więc nie należy tego dzielić przez 2 gdy nie rozróżnamy grup, tylko mnożyć przez 2 gdy je rozróżniamy
Takie jest moje zdanie. Mam nadzieję, że się nie mylę i się z tym co napisałam zgodzisz.

[mat_61]

Jeśli rozważymy mniejszą liczbę osub czyli 1 2 3 4 to wybierając na piechotę mamy takie możliwości
1 2;1 3; 1 4; 2 3; 2 4; 3 4 jest ich 6 tyle samo co z \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\).
więc nie należy tego dzielić przez 2 gdy nie rozróżnamy grup, tylko mnożyć przez 2 gdy je rozróżniamy
Takie jest moje zdanie. Mam nadzieję, że się nie mylę i się z tym co napisałam zgodzisz.

Niestety nie mogę się zgodzić , bo tak nie jest. Wynika to także z Twojego zapisu. Zauważ, że wg Ciebie możemy wybrać 2 osoby spośród 4 na 6 sposobów (co jest oczywiście prawdą):

a) 1 2
b) 1 3
c) 1 4
d) 2 3
e) 2 4
f) 3 4

Ale to doświadczenie nie polega na wyborze 2 osób z 4 tylko na podziale tych 4 osób na dwie grupy i to stanowi istotną różnicę, bo pozostałe, niewybrane 2 osoby także tworzą grupę. Czyli mamy takie podziały na grupy (wg takiego wyboru jak napisałaś):

a) 1 2 oraz 3 4
b) 1 3 oraz 2 4
c) 1 4 oraz 2 3
d) 2 3 oraz 1 4
e) 2 4 oraz 1 3
f) 3 4 oraz 1 2

Zauważ teraz, że wybór 2 osób wg punktu a) jest takim samym podziałem na dwie grupy jak wybór 2 osób wg punktu f) - te grupy to {1;2} i {3;4} podobnie jest dla punktów b) i e) oraz c) i d)

Czy teraz widzisz dlaczego należy tak wyliczoną kombinację podzielić przez dwa?

[magda_s235]

sama już doszłam że tak jest i całkowicie się z tobą zgadzam