Jak znaleźć wzór jawny na n-ty wyraz ciągu w takim oto przykładzie:
Pewien ochroniarz pobrał za ochronę restauracji za pierwszym razem 10 Euro. Za każdym następnym razem pobierał haracz stanowiący sumę podwojonego haraczu pobranego ostatnim razem i dodatkowych 5 Euro. Znajdź wzór jawny na \(\displaystyle{ h_{n}}\)- haracz w Euro pobrany za n-tym razem.
I teraz pytanie: mogę się tylko domyślać że wzór na n-ty wyraz ciągu ma postać:
\(\displaystyle{ a_{n}=2 \cdot a_{n-2}+5}\). Tylko jak ten wzór przerobić na równanie charakterystyczne i czy ten wzór na n-ty wyraz ciągu jest prawidłowy?
Jeśli komuś się przyda, to na dole zamieszczam podobne zadanie z gotowym rozwiązaniem.
W pewnym państwie cena bananów w momencie wstąpienia do UE wynosiła 1 euro, a w miesiąc po wstąpieniu wynosiła 2 euro. W każdym następnym miesiącu cena bananów była ustalana jako różnica pomiędzy potrojoną ceną bananów z poprzedniego miesiąca i podwojoną ceną bananów sprzed dwóch miesięcy. Znajdź wzór jawny na \(\displaystyle{ b_{n}}\) cenę bananów (w euro) w \(\displaystyle{ n}\) miesięcy po wstąpieniu do UE.
Ustalamy wartości początkowe \(\displaystyle{ b_{0}=1 b_{1}=2}\)
Przewidujemy zależność rekurencyjną na wartość \(\displaystyle{ b_{n}}\):
\(\displaystyle{ b_{n}=3b_{n-1}-2b_{n-2}}\) gdzie wzór ogólny \(\displaystyle{ b_{n}=Ab_{n-1}+Bb_{n-2}}\)
Ustalamy równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ x^2=Ax+B}\) skąd: \(\displaystyle{ x^2=3x-2}\)
Obliczamy pierwiastki równania: \(\displaystyle{ \alpha_{1}= \frac{3+1}{2}=2}\) ; \(\displaystyle{ \alpha_{2}=\frac{3-1}{2}=1}\)
Otrzymujemy wzór na n-ty wyraz ciągu z uwzględnieniem wartości pierwiastków \(\displaystyle{ \alpha_{1} \alpha_{2}}\):
\(\displaystyle{ b_{n}=c \cdot 2^{n}+d \cdot 1^{n}}\)
Dla \(\displaystyle{ n=0; b_{0}=1}\):
\(\displaystyle{ c+d=1; d=1-c}\)
Dla \(\displaystyle{ n=1; b_{1}=1}\):
\(\displaystyle{ 2c+1-c=2; c=1; d=1-1=0}\)
Stąd ostateczny wzór na n-ty wyraz ciągu:
\(\displaystyle{ b_{n}=c \cdot \alpha_{1}^{n}+d \cdot \alpha_{2}^{n}=1 \cdot 2^{n}+0 \cdot 1^{n}=2^{n}}\)
Pozdrawiam i liczę na odpowiedzi.
Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 13 sty 2010, o 12:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Pomógł: 1 raz
Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.
Ostatnio zmieniony 15 sty 2010, o 21:49 przez czeslaw, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie podpinaj się pod cudze tematy.
Powód: Nie podpinaj się pod cudze tematy.
Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.
Twój wzór na górze nie jest jednorodny. Jeśli chcesz wykorzystać r. charakterystyczne musisz pozbyć się stałej. Np. przez podstawienie
\(\displaystyle{ b_n=a_n-5}\)
\(\displaystyle{ b_n=a_n-5}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 13 sty 2010, o 12:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Pomógł: 1 raz
Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.
Ale samo równanie które ułożyłem jest poprawne?
No dobrze, i jeśli jest nawet poprawne to jakie jest dalsze postępowanie w obliczeniach? Robimy je tak samo jak w tym przykładzie który rozwiązałem, czy wprowadzamy jakieś zmiany do samego toku obliczeń?
No dobrze, i jeśli jest nawet poprawne to jakie jest dalsze postępowanie w obliczeniach? Robimy je tak samo jak w tym przykładzie który rozwiązałem, czy wprowadzamy jakieś zmiany do samego toku obliczeń?
Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.
Jest ok, postępujesz tak samo, na samym końcu wracasz do podstawienia.
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 13 sty 2010, o 12:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Pomógł: 1 raz
Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.
A możesz mi rozwinąć chociaż początek tych obliczeń? Byłbym bardzo wdzięczny, bo ciężko mi jest to zrobić jak nie mam przed sobą jakiegoś podobnego przykładu
Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.
ok, ale już przecież to robiłeś sam :-p
\(\displaystyle{ b_n=a_n-5}\)
podstawiamy i dostajemy
\(\displaystyle{ b_{n}=2 \cdot b_{n-2}}\)
Można (chociaż nie trzeba) tutaj skorzystać z r. charakterystycznych dostając równanie
\(\displaystyle{ x^2=2}\)
i postępując identycznie jak w poprzednim przykładzie.
\(\displaystyle{ b_n=a_n-5}\)
podstawiamy i dostajemy
\(\displaystyle{ b_{n}=2 \cdot b_{n-2}}\)
Można (chociaż nie trzeba) tutaj skorzystać z r. charakterystycznych dostając równanie
\(\displaystyle{ x^2=2}\)
i postępując identycznie jak w poprzednim przykładzie.