Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.

[james007pl]

Jak znaleźć wzór jawny na n-ty wyraz ciągu w takim oto przykładzie:



Pewien ochroniarz pobrał za ochronę restauracji za pierwszym razem 10 Euro. Za każdym następnym razem pobierał haracz stanowiący sumę podwojonego haraczu pobranego ostatnim razem i dodatkowych 5 Euro. Znajdź wzór jawny na \(\displaystyle{ h_{n}}\)- haracz w Euro pobrany za n-tym razem.



I teraz pytanie: mogę się tylko domyślać że wzór na n-ty wyraz ciągu ma postać:
\(\displaystyle{ a_{n}=2 \cdot a_{n-2}+5}\). Tylko jak ten wzór przerobić na równanie charakterystyczne i czy ten wzór na n-ty wyraz ciągu jest prawidłowy?



Jeśli komuś się przyda, to na dole zamieszczam podobne zadanie z gotowym rozwiązaniem.



W pewnym państwie cena bananów w momencie wstąpienia do UE wynosiła 1 euro, a w miesiąc po wstąpieniu wynosiła 2 euro. W każdym następnym miesiącu cena bananów była ustalana jako różnica pomiędzy potrojoną ceną bananów z poprzedniego miesiąca i podwojoną ceną bananów sprzed dwóch miesięcy. Znajdź wzór jawny na \(\displaystyle{ b_{n}}\) cenę bananów (w euro) w \(\displaystyle{ n}\) miesięcy po wstąpieniu do UE.

Ustalamy wartości początkowe \(\displaystyle{ b_{0}=1 b_{1}=2}\)


Przewidujemy zależność rekurencyjną na wartość \(\displaystyle{ b_{n}}\):


\(\displaystyle{ b_{n}=3b_{n-1}-2b_{n-2}}\) gdzie wzór ogólny \(\displaystyle{ b_{n}=Ab_{n-1}+Bb_{n-2}}\)


Ustalamy równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ x^2=Ax+B}\) skąd: \(\displaystyle{ x^2=3x-2}\)


Obliczamy pierwiastki równania: \(\displaystyle{ \alpha_{1}= \frac{3+1}{2}=2}\) ; \(\displaystyle{ \alpha_{2}=\frac{3-1}{2}=1}\)


Otrzymujemy wzór na n-ty wyraz ciągu z uwzględnieniem wartości pierwiastków \(\displaystyle{ \alpha_{1} \alpha_{2}}\):


\(\displaystyle{ b_{n}=c \cdot 2^{n}+d \cdot 1^{n}}\)

Dla \(\displaystyle{ n=0; b_{0}=1}\):

\(\displaystyle{ c+d=1; d=1-c}\)

Dla \(\displaystyle{ n=1; b_{1}=1}\):

\(\displaystyle{ 2c+1-c=2; c=1; d=1-1=0}\)

Stąd ostateczny wzór na n-ty wyraz ciągu:


\(\displaystyle{ b_{n}=c \cdot \alpha_{1}^{n}+d \cdot \alpha_{2}^{n}=1 \cdot 2^{n}+0 \cdot 1^{n}=2^{n}}\)

Pozdrawiam i liczę na odpowiedzi.

[abc666]

Twój wzór na górze nie jest jednorodny. Jeśli chcesz wykorzystać r. charakterystyczne musisz pozbyć się stałej. Np. przez podstawienie

\(\displaystyle{ b_n=a_n-5}\)

[james007pl]

Ale samo równanie które ułożyłem jest poprawne?

No dobrze, i jeśli jest nawet poprawne to jakie jest dalsze postępowanie w obliczeniach? Robimy je tak samo jak w tym przykładzie który rozwiązałem, czy wprowadzamy jakieś zmiany do samego toku obliczeń?

[abc666]

Jest ok, postępujesz tak samo, na samym końcu wracasz do podstawienia.

[james007pl]

A możesz mi rozwinąć chociaż początek tych obliczeń? Byłbym bardzo wdzięczny, bo ciężko mi jest to zrobić jak nie mam przed sobą jakiegoś podobnego przykładu

[abc666]

ok, ale już przecież to robiłeś sam :-p

\(\displaystyle{ b_n=a_n-5}\)
podstawiamy i dostajemy
\(\displaystyle{ b_{n}=2 \cdot b_{n-2}}\)

Można (chociaż nie trzeba) tutaj skorzystać z r. charakterystycznych dostając równanie
\(\displaystyle{ x^2=2}\)
i postępując identycznie jak w poprzednim przykładzie.