Utworzenie wzoru jawnego-podwyżka i procenty

[james007pl]

Witam
Mam do znalezienia wzór jawny na ciąg o następujących warunkach zawartych w zadaniach:

1) Pewien człowiek pożyczył od chłopaków z miasta 1 mln euro na 50 % rocznie, przy czym odsetki są doliczane na koniec każdego roku). Na koniec każdego roku człowiek ten spłaca 0,2 mln euro. Znajdź wzór jawny na \(\displaystyle{ d_{n}}\)-dług po n-latach.

2) Pewien ochroniarz pobrał za ochronę restauracji za pierwszym razem 10 Euro. Za każdym następnym razem pobierał haracz stanowiący sumę podwojonego haraczu pobranego ostatnim razem i dodatkowych 5 Euro. Znajdź wzór jawny na \(\displaystyle{ h_{n}}\)- haracz w Euro pobrany za n-tym razem.

Nie mam pojęcia jak podejść do tego zagadnienia. Nie musi to być konkretne rozwiązanie, ale nawet jakieś luźne podpowiedzi jak korzystać z definicji wzoru jawnego i rekurencyjnego w tym przypadku.

Pozdrawiam i dziękuje za wszelkie odpowiedzi.-- 15 sty 2010, o 19:28 --Ponieważ zrobiłem zadanie z takim samym poleceniem, ale o innych danych zamieszczę je tutaj z prawidłowym rozwiązaniem.

W pewnym państwie cena bananów w momencie wstąpienia do UE wynosiła 1 euro, a w miesiąc po wstąpieniu wynosiła 2 euro. W każdym następnym miesiącu cena bananów była ustalana jako różnica pomiędzy potrojoną ceną bananów z poprzedniego miesiąca i podwojoną ceną bananów sprzed dwóch miesięcy. Znajdź wzór jawny na \(\displaystyle{ b_{n}}\) cenę bananów (w euro) w \(\displaystyle{ n}\) miesięcy po wstąpieniu do UE.

Ustalamy wartości początkowe \(\displaystyle{ b_{0}=1 b_{1}=2}\)

Przewidujemy zależność rekurencyjną na wartość \(\displaystyle{ b_{n}}\):

\(\displaystyle{ b_{n}=3b_{n-1}-2b_{n-2}}\) gdzie wzór ogólny \(\displaystyle{ b_{n}=Ab_{n-1}+Bb_{n-2}}\)

Ustalamy równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ x^2=Ax+B}\) skąd: \(\displaystyle{ x^2=3x-2}\)

Obliczamy pierwiastki równania: \(\displaystyle{ \alpha_{1}= \frac{3+1}{2}=2}\) ; \(\displaystyle{ \alpha_{2}=\frac{3-1}{2}=1}\)

Otrzymujemy wzór na n-ty wyraz ciągu z uwzględnieniem wartości pierwiastków \(\displaystyle{ \alpha_{1} \alpha_{2}}\):

\(\displaystyle{ b_{n}=c \cdot 2^{n}+d \cdot 1^{n}}\)

Dla \(\displaystyle{ n=0; b_{0}=1}\):

\(\displaystyle{ c+d=1; d=1-c}\)

Dla \(\displaystyle{ n=1; b_{1}=1}\):

\(\displaystyle{ 2c+1-c=2; c=1; d=1-1=0}\)

Stąd ostateczny wzór na n-ty wyraz ciągu:

\(\displaystyle{ b_{n}=c \cdot \alpha_{1}^{n}+d \cdot \alpha_{2}^{n}=1 \cdot s^{n}+0 \cdot 1^{n}=2^{n}}\)

I teraz takie pytanie: w jaki sposób wyprowadzić przewidywany wzór rekurencyjnych dla przykładów które poprzednio podałem? W tym przypadku który wykonałem było to dosyć proste. Co do drugiego przykładu z tych co podałem, mogę się tylko domyślać że wzór na n-ty wyraz ciągu ma postać:
\(\displaystyle{ a_{n}=2 \cdot a_{n-2}+5}\). Tylko jak ten wzór przerobić na równanie charakterystyczne?
Proszę o pomoc.