rekurencja : podać jawny wzór i udowodnić induk. jego popraw

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Tor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 18 maja 2009, o 19:31
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

rekurencja : podać jawny wzór i udowodnić induk. jego popraw

Post autor: Tor »

w zadaniu mam podać jawny wzór na \(\displaystyle{ a_{n}}\)i udowodnić indukcyjnie jego poprawność :
\(\displaystyle{ a{n}=3a_{n-1}+ a_{n-2}}\)
\(\displaystyle{ a_{0} =1 a_{1}=1}\)po podstawienju do wzoru na równanie charakterystyczne zależności rekurencyjnej : \(\displaystyle{ x^{2}-ax-b=0}\) otrzymuje \(\displaystyle{ x ^{2}-3x-1=0}\) tylko nie wiem czy to jest dobrze i nie przekręciłem tego wzoru czy zamiast -b nie powinno byś +b ale chyba nie . Następnie liczę delte i \(\displaystyle{ x _{1} i x _{2}}\):
delta wychodzi mi \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\) , \(\displaystyle{ x_{1} = \frac{3- \sqrt{13} }{2}}\)a \(\displaystyle{ x _{2} =\frac{3+ \sqrt{13} }{2}}\).
wyszły mi zarem 2 pierwiastki i podstawiam do wzoru:
\(\displaystyle{ a _{0}= C_{1}* \left( \frac{3- \sqrt{13} }{2} \right) ^{0}+C _{2}*\left ( \frac{3- \sqrt{13} }{2} \right) ^{0}=1}\)
\(\displaystyle{ a _{1}= C_{1}* \left( \frac{3- \sqrt{13} }{2} \right) ^{1}+C _{2}*\left ( \frac{3+ \sqrt{13} }{2} \right) ^{1}=1}\)
nastepnie powstaje mi układ równań :
\(\displaystyle{ C_{1}+C _{2}=1}\)
\(\displaystyle{ C_{1} \frac{3- \sqrt{13} }{2} +C _{2} \frac{3+ \sqrt{13} }{2} =1}\)
i w tym miejscu zaczynają sie dla mnie schody bo nie wiem jak mama rozwiązać taki układ równań, jeśli by ktoś potrafił to bardzo prosze o pomoc w tym działanju oraz o sprawdzenie czy to co napisałem powyżej dobrze rozwiazałem
z góry wszystkim bardzo dziękuje za pomoc
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

rekurencja : podać jawny wzór i udowodnić induk. jego popraw

Post autor: Nakahed90 »

Wyznacz np \(\displaystyle{ C_{1}}\) z pierwszego i podstaw do drugiego.
Tor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 18 maja 2009, o 19:31
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

rekurencja : podać jawny wzór i udowodnić induk. jego popraw

Post autor: Tor »

\(\displaystyle{ \left(1-C_{1} \right) \frac{3- \sqrt{13} }{2} +C _{2}\frac{3+ \sqrt{13} }{2}=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{3- \sqrt{13} }{2}+C _{2}\frac{3- \sqrt{13} }{2}+C _{2}\frac{3+ \sqrt{13} }{2}=1}\)
WYSZŁO MI COŚ TAKIEGO jeśli to teraz podzielę obustronnie przez 2 to otrzymam:
\(\displaystyle{ 3- \sqrt{13}+C _{2} 3- \sqrt{13}+ C _{2} 3+ \sqrt{13}= \frac{1}{2}}\)
i dalej niestety nie wim co mam robić prosze o jakieś wskazówki
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

rekurencja : podać jawny wzór i udowodnić induk. jego popraw

Post autor: Nakahed90 »

Musisz pomnożyć, a do tego postaw nawiasy w odpowiednich miejscach.
Tor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 18 maja 2009, o 19:31
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

rekurencja : podać jawny wzór i udowodnić induk. jego popraw

Post autor: Tor »

\(\displaystyle{ 3- \sqrt{13}+C _{2} \left( 3- \sqrt{13}\right)+C _{2} \left( 3+ \sqrt{13}\right)= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 3- \sqrt{13}+3C _{2}- \sqrt{13}C _{2}+3C _{2}+ \sqrt{13}C _{2}= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 3-\sqrt{13}+6C _{2}= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 6C _{2}= \frac{1}{2}-3+\sqrt{13}}\)
to tak maiało być??????????? i co ztym dalej rozwiązać??????? bo jak to wylicze to mi głupi wynik wychodzi jakieś ułamki
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

rekurencja : podać jawny wzór i udowodnić induk. jego popraw

Post autor: Nakahed90 »

Nie pomnożyłeś prawej strony przez dwa.
Tor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 18 maja 2009, o 19:31
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

rekurencja : podać jawny wzór i udowodnić induk. jego popraw

Post autor: Tor »

\(\displaystyle{ \left( 1-C _{2} \right) \frac{3- \sqrt{13} }{2}+ C _{2} \frac{3+ \sqrt{13} }{2}=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{3- \sqrt{13} }{2}- \frac{3- \sqrt{13} }{2}C _{2} + \frac{3+ \sqrt{13} }{2}C _{2}=1}\)
mnożę teraz obustronnie przez 2 i :
\(\displaystyle{ 3- \sqrt{13}- \left(3- \sqrt{13} \right)C _{2}+ \left(3+ \sqrt{13} \right)C _{2}=2}\)
\(\displaystyle{ 3- \sqrt{13}- 3C _{2}+ \sqrt{13}C _{2}+ 3C _{2}+ \sqrt{13} C _{2} =2}\)
\(\displaystyle{ 3C_{2}}\) mi sie skróci i :
\(\displaystyle{ 3- \sqrt{13}+2 \sqrt{13}C _{2}=2}\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{13}C _{2}=2-3+ \sqrt{13}}\)
i teraz nie wiem czy to jest dobrze ale robie tak :
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{13}C _{2}=2+ \sqrt{13}-3}\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{13}C _{2}=2 \sqrt{13}-3}\)
i co dalej tego nie wiem jak to podzielę pzrez ten \(\displaystyle{ 2 \sqrt{13}}\) to będę miał c2 ale 3 też musze przez to podzielić no i nie wiem co dalej prosze o jakieś wskazówki
ODPOWIEDZ