Witam mam problem z następującym zadaniem:
Z cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8 tworzymy liczby sześciocyfrowe. Ile można utworzyć takich liczb, w których cyfra 1 występuje co najmniej trzy razy, a pozostałe cyfry są różne między sobą?
Odpowiedz: 7638
Będę wdzięczny za wszelką pomoc! Mile będzie widziane objaśnienie rozumowania choć do zrozumienia powinno mi wystarczyć napisanie wzorów!
Ile można utworzyć liczb szesciocyfrowych
-
Yaco_89
- Użytkownik
- Posty: 992
- Rejestracja: 1 kwie 2008, o 00:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tychy/Kraków
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 204 razy
Ile można utworzyć liczb szesciocyfrowych
najpierw załóżmy, że 1 występuje dokładnie 3 razy: wtedy wybieramy 3 z 6 pozycji w zapisie liczby, na których stoją jedynki - mamy \(\displaystyle{ {6 \choose 3}}\) możliwości, na pierwszej z pozostałych pozycji możemy ustawić jedną z 7 cyfr od 2 do 8, na drugiej już tylko jedną z 6, a na trzeciej jedną z 5, co daje nam \(\displaystyle{ {6 \choose 3} \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}\) możliwości.
Jeśli w naszej liczbie mają być 4 jedynki, to analogicznie otrzymujemy \(\displaystyle{ {6 \choose 4} \cdot 7 \cdot 6}\)
5 jedynek - \(\displaystyle{ {6 \choose 5} \cdot 7=6 \cdot 7=42}\)
no i oczywiście jedna liczba składająca się z 6 jedynek.
Pozostaje zsumować wszystkie powyższe przypadki. Sprawdź czy się zgadza.
Jeśli w naszej liczbie mają być 4 jedynki, to analogicznie otrzymujemy \(\displaystyle{ {6 \choose 4} \cdot 7 \cdot 6}\)
5 jedynek - \(\displaystyle{ {6 \choose 5} \cdot 7=6 \cdot 7=42}\)
no i oczywiście jedna liczba składająca się z 6 jedynek.
Pozostaje zsumować wszystkie powyższe przypadki. Sprawdź czy się zgadza.