Równania rekurencyjne, funkcje tworzące

[mazi_piotrek]

Zad. 1
Niech \(\displaystyle{ d_{n}}\) oznacza ilość sposobów otrzymania liczby n jako sumy oczek przy rzutach kością,
np. \(\displaystyle{ d_{4}}\) = 8: 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1, 1 + 3, 2 + 2, 3 + 1, 4. (liczy się
kolejność otrzymania poszczególnych składowych.) Pokazać, ze \(\displaystyle{ d_{n}}\) jest współczynnikiem
przy \(\displaystyle{ x_{n}}\) w wielomianie \(\displaystyle{ (1 - x - x^{2} - x^{3} - x^{4} - x^{5} - x^{6})^{-1}}\).

Zad. 2
Załóżmy, ze mamy nieskończona ilość monet: 1gr, 2gr, 5gr, 10gr, 20gr, 50gr i 1zl. Pokazać,
ze ilość sposobów otrzymania n groszy jest równa współczynnikowi przy \(\displaystyle{ x_{n}}\) w wielomianie
\(\displaystyle{ ((1 - x)(1 - x^{2})(1 - x^{5})(1 - x^{10})(1 - x^{20})(1 - x^{100}))^{-1}}\).

[abc666]

... rz%C4%85ce