witam
mam do rozwiazanie rownanie rekurecyjne:
d(n) \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} d _{1} = 1 \\d _{2} = 2\\d _{3} = 3\\d _{4} = 5\\d _{n} = d _{n-1} +d _{n-2} \end{array}}\)
chce otrzymac d(n)=.....
Prosze o pomoc albo podpowiesz:)
rozwiazac rownanie rekurencyjne
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
rozwiazac rownanie rekurencyjne
Najłatwiej zrobić to za pomocą równania charakterystycznego. Jeśli wzór ciągu zapiszesz sobie w równoważnej postaci
\(\displaystyle{ d_{n+2}=d_{n+1}+d_n}\)
to wówczas odpowiadające mu równanie charakterystyczne (które powstaje w ten sposób, że każdemu składnikowi postaci \(\displaystyle{ d_{n+k}}\) przyporządkowujemy \(\displaystyle{ x^k}\)) ma postać
\(\displaystyle{ x^2=x+1}\)
Pierwiastkami tego równania są \(\displaystyle{ \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}}\), więc ciąg ma postać
\(\displaystyle{ d_n=A\frac{1+ \sqrt{5}}{2}+B\frac{1- \sqrt{5}}{2}}\)
Współczynniki A i B obliczasz podstawiając początkowe wyrazy ciągu.
Pozdrawiam.-- 9 sty 2010, o 14:50 --
\(\displaystyle{ d_n=A\left(\frac{1+ \sqrt{5}}{2}\right)^n+B\left(\frac{1- \sqrt{5}}{2}\right)^n}\)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ d_{n+2}=d_{n+1}+d_n}\)
to wówczas odpowiadające mu równanie charakterystyczne (które powstaje w ten sposób, że każdemu składnikowi postaci \(\displaystyle{ d_{n+k}}\) przyporządkowujemy \(\displaystyle{ x^k}\)) ma postać
\(\displaystyle{ x^2=x+1}\)
Pierwiastkami tego równania są \(\displaystyle{ \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}}\), więc ciąg ma postać
\(\displaystyle{ d_n=A\frac{1+ \sqrt{5}}{2}+B\frac{1- \sqrt{5}}{2}}\)
Współczynniki A i B obliczasz podstawiając początkowe wyrazy ciągu.
Pozdrawiam.-- 9 sty 2010, o 14:50 --
Oczywiście źle napisałam Ma byćBettyBoo pisze:\(\displaystyle{ d_n=A\frac{1+ \sqrt{5}}{2}+B\frac{1- \sqrt{5}}{2}}\)
\(\displaystyle{ d_n=A\left(\frac{1+ \sqrt{5}}{2}\right)^n+B\left(\frac{1- \sqrt{5}}{2}\right)^n}\)
Pozdrawiam.