Relacje równości/ klasy abstrakcji (tym razem pary liczb).

[Atais]

Witam,

no cóż, lekka zmiana warunków zadania ponownie blokuje moją pracę :/,
tym razem mam wyznaczyć klasy abstrakcji dla relacji z parami liczb.

zadanie:

Wyznacz, że R jest relacją w R^2, wiedząc, że dla dowolnych \(\displaystyle{ (x,y) , (s,t) \in R^{2}}\)

\(\displaystyle{ (x,y)R(s,t) \Leftrightarrow x^{2}=s^{2}}\)

Wyznacz klasę abstrakcji i NARYSUJ ją dla \(\displaystyle{ ( -3 , \sqrt{8} )}\) - W OGOLE NIE CZAJE.

W każdym razie relacje udowodnić łatwo:
1) Zwrotność:
\(\displaystyle{ (x,y) \sim (x,y) => x^{2}=x^{2}}\)
L=P, ok.

2) Symetryczność:
\(\displaystyle{ (x,y) \sim (s,t) => (s,t) \sim (x,y)

x^{2}=s^{2} => s^{2} = x^{2}}\)
L=P, ok.

3) Przechodniość:
(nowa para p,q)
\(\displaystyle{ (x,y)\sim (s,t) \wedge (s,t)\sim (p,q) => (x,y)\sim (p,q)

x^{2}=s^{2}; s^{2}=p^{2} => x^{2}=p^{2}}\)

można wywnioskować z założeń relacji i wcześniejszego równiania bez przekształceń, ok.

Wydaje mi się, że sprawdzenie jest ok, nie rozumiem trochę sensu Par liczb, ale skoro są w zadaniu to ok.

W każdym razie :/ - Klasy abstrakcji.

Klasą abstrakcji wydaje mi się, są wszystkie pary liczb, których suma kwadratów jest sobie równa, w zbiorze liczb R jest nieskończona. Nie jestem pewien tylko jak to zapisać, przez co nie jestem w stanie zrobić ostatniej części:
Wyznacz klasę abstrakcji i NARYSUJ ją dla \(\displaystyle{ ( -3 , \sqrt{8} )}\) - kosmos.

Dzięki jeszcze raz za pomoc.

[JankoS]

\(\displaystyle{ [(-3, \sqrt{8})]_ \sim =\{(x,y) \in R^2:x^2=9\}=\{(-3,y):y \in R\} \cup \{(3,y):y \in R\}.}\)
Wykresem jest suma dwóch prostych o równaniach: x = -3, x = 3.

[Tomcat]

Dowód jest w porządku, ale jak sam piszesz problemy są z klasą abstrakcji. Na początek, trochę nie tak zrozumiałeś o co chodzi. Popatrz, mamy dwie pary (krotki) liczb takie, w których kwadraty pierwszych elementów są sobie równe. Do rzeczy, szukaną klasę abstrakcji możemy zdefiniować następująco:
\(\displaystyle{ [(-3, \sqrt8)]_R = \{(x,y) | x \in \{-3,3\} \wedge y \in R\}}\)
A rysunek to po prostu dwie proste równoległe do OY.

[Atais]

Na początek, trochę nie tak zrozumiałeś o co chodzi. Popatrz, mamy dwie pary (krotki) liczb takie, w których kwadraty pierwszych elementów są sobie równe.

Oh tak faktycznie, po prostu zaraz po tym rozwiązywałem drugie zadanie i wymieszałem relacje.

W każdym razie jednej rzeczy nie rozumiem dalej -

dlaczego zawężasz klasę abstrakcji do przedziału {-3, 3}, (sam przedział wiem skąd się wziął), ale relacja jest w zbiorze liczb rzeczywistych a nie w tym przedziale wynikających z przykładowych wartości do wykresu (przynajmniej tak mi się wydaje?)

Rysunek też skumałem, tylko dalej te klasy.

[Tomcat]

Popatrz na to jak to JankoS rozpisał, pierwszy element krotki to -3 a jego kwadrat to 9. Szukamy teraz takich krotek, które mają liczbę x jako pierwszy element taki, że jego kwadrat to 9 czyli x to albo 3 albo -3, stąd moje ograniczenie na pierwszy element, drugi to już cały zbiór liczb rzeczywistych. Teraz w miarę jasno Ci to wytłumaczyłem?