udowodnij:
\(\displaystyle{ {n \choose k}+ {n \choose k-1} = {n+1 \choose k}}\)
\(\displaystyle{ {n \choose k}+ {n \choose k-1} = \frac{n!}{k! \left( n-k\right)! } + \frac{n!}{(k-1)! (n-k+1)!}}\)
no i tu się zaczynają schody...
dwumian newtona
dwumian newtona
\(\displaystyle{ \frac{n!}{(k-1)! \cdot k \cdot (n-k!)} + \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!(n-k+1)} =
\frac{n!(n-k+1)}{(k-1)! \cdot k \cdot (n-k)! \cdot (n-k+1)!} + \frac{n! \cdot k}{(k-1)! \cdot k \cdot (n-k)! \cdot (n-k+1)} = \frac{n!(n+1)}{k!(n-k+1)!} = {n+1 \choose k}}\)
Coś niejasne?
\frac{n!(n-k+1)}{(k-1)! \cdot k \cdot (n-k)! \cdot (n-k+1)!} + \frac{n! \cdot k}{(k-1)! \cdot k \cdot (n-k)! \cdot (n-k+1)} = \frac{n!(n+1)}{k!(n-k+1)!} = {n+1 \choose k}}\)
Coś niejasne?
Ostatnio zmieniony 25 paź 2011, o 20:15 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
dwumian newtona
\(\displaystyle{ {n \choose k}+ {n \choose k-1} = \frac{n!}{k! \left( n-k\right)! } + \frac{n!}{(k-1)! (n-k
+1)!}=\frac{n!(k-1)!(n-k+1)!+n!(n-k)!k!}{k!(n-k)!(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{n!(k-1)!(n-k)!\cdot(n-k+1)+n!
(n-k)!k!}{k!(n-k)!(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{n!(k-1)!\cdot(n-k+1)+n!\cdot k!}{k!(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{n!
(k-1)!\cdot(n-k+1)+n!\cdot (k-1)!\cdot k}{k!(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{n!\cdot(n-k+1)+n!\cdot k}{k!(n-k
+1)!}=\frac{n![(n-k+1)+k]}{k!(n-k+1)!}=\frac{n!(n+1)}{k!(n-k+1)!}=\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}={n+1
\choose k}}\)
+1)!}=\frac{n!(k-1)!(n-k+1)!+n!(n-k)!k!}{k!(n-k)!(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{n!(k-1)!(n-k)!\cdot(n-k+1)+n!
(n-k)!k!}{k!(n-k)!(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{n!(k-1)!\cdot(n-k+1)+n!\cdot k!}{k!(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{n!
(k-1)!\cdot(n-k+1)+n!\cdot (k-1)!\cdot k}{k!(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{n!\cdot(n-k+1)+n!\cdot k}{k!(n-k
+1)!}=\frac{n![(n-k+1)+k]}{k!(n-k+1)!}=\frac{n!(n+1)}{k!(n-k+1)!}=\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}={n+1
\choose k}}\)