Mam zadanie w którym trzeba podać jawny wzór na \(\displaystyle{ a_{n}}\) i udowodnic indukcyjnie jego poprawność.
\(\displaystyle{ a _{n}=-3a _{n-1}+2a _{n-2}}\)
\(\displaystyle{ a _{0}=1, a _{1}=2}\)
Po podstawienu do wzoru:
\(\displaystyle{ x ^{2}- ax - b= 0}\)
Wyszło mi cos takiego:
\(\displaystyle{ x ^{2}+3x-2=0}\)
Z tego delta wychodzi 17, więc pierwiastek z delty to \(\displaystyle{ \sqrt{17}}\), z tego trzeba obliczyć \(\displaystyle{ x _{1} i x _{2}}\), ale z takim pierwiastkiem to nie wyjdą ładne wyniki. Mam prośbę, o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.
Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.
-
abc666
Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.
A ile to bedzie:
\(\displaystyle{ \frac{-3- \sqrt{17} }{2}}\)
Mam ten pierwiastek wydzielić na kalkulatorze, czy jak? Z tym pierwiastkiem to chyba nie da się tego zrobić. Można by to jeszcze pomnożyć przez 2, ale nie wiem, czy to dobry pomysł.
\(\displaystyle{ \frac{-3- \sqrt{17} }{2}}\)
Mam ten pierwiastek wydzielić na kalkulatorze, czy jak? Z tym pierwiastkiem to chyba nie da się tego zrobić. Można by to jeszcze pomnożyć przez 2, ale nie wiem, czy to dobry pomysł.
-
abc666
Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.
No to jest tyle ile jest. Nic nie wyliczasz. To taka sama liczba jak 5 czy 7.
Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.
Z tego wyjdzie:
\(\displaystyle{ x _{1}= \frac{-3- \sqrt{17} }{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{2}= \frac{-3+ \sqrt{17} }{2}}\)
Podstawiam do wzoru:
\(\displaystyle{ a _{0}=c_{1} \cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2}\right) ^{0} + c _{2} \cdot \left(\frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right) ^{0}=1}\)
\(\displaystyle{ a _{1}=c_{1} \cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right)^{1} + c _{2} \cdot \left(\frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^{1}=2}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ c _{1}+c _{2}=1}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) c_{1} + \left(\frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right) c _{2}=2}\)
Nie jestem pewien, czy po spotęgowaniu do potęgi 1 znaki "-" zmieniają się na przeciwne.
Z tego można wyliczyć np. \(\displaystyle{ c _{1} =1-c _{2}}\).
Po podstawieniu tego do drugiego równania:
\(\displaystyle{ \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) \cdot \left( 1-c _{2} \right) + \left(\frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right) c _{2}=2}\)
I jak z tego wyliczyć dalej te stałe? Może coś źle robię, bo strasznie głupie te wyniki wychodzą.
\(\displaystyle{ x _{1}= \frac{-3- \sqrt{17} }{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{2}= \frac{-3+ \sqrt{17} }{2}}\)
Podstawiam do wzoru:
\(\displaystyle{ a _{0}=c_{1} \cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2}\right) ^{0} + c _{2} \cdot \left(\frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right) ^{0}=1}\)
\(\displaystyle{ a _{1}=c_{1} \cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right)^{1} + c _{2} \cdot \left(\frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^{1}=2}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ c _{1}+c _{2}=1}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) c_{1} + \left(\frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right) c _{2}=2}\)
Nie jestem pewien, czy po spotęgowaniu do potęgi 1 znaki "-" zmieniają się na przeciwne.
Z tego można wyliczyć np. \(\displaystyle{ c _{1} =1-c _{2}}\).
Po podstawieniu tego do drugiego równania:
\(\displaystyle{ \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) \cdot \left( 1-c _{2} \right) + \left(\frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right) c _{2}=2}\)
I jak z tego wyliczyć dalej te stałe? Może coś źle robię, bo strasznie głupie te wyniki wychodzą.
-
abc666
Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.
Niestety, zazwyczaj tak to wygląda
\(\displaystyle{ c_1= \frac{-7\sqrt{17}+17}{34} \\
c_2 = \frac{7\sqrt{17}+17}{34}}\)
\(\displaystyle{ c_1= \frac{-7\sqrt{17}+17}{34} \\
c_2 = \frac{7\sqrt{17}+17}{34}}\)
Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.
Warunek początkowy wyszedł mi tak:
\(\displaystyle{ a _{0}=1}\)
\(\displaystyle{ a _{1}=2}\)
Czyli dobrze, ale założenie indukcyjne jest nie prawdziwe, czyli chyba coś musi być źle zrobione, albo nie da się tego zrobić:
\(\displaystyle{ a _{n}=-3a _{n-1} + 2a _{n-2}= -3 \frac{-7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left(\frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n-1} + 2 \cdot \frac{7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2}\right) ^{n-2}}{} = \frac{-51+21 \sqrt{17} }{68} \cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2}\right) ^{n} + \frac{17+ 7 \sqrt{17} }{68} \cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ a _{0}=1}\)
\(\displaystyle{ a _{1}=2}\)
Czyli dobrze, ale założenie indukcyjne jest nie prawdziwe, czyli chyba coś musi być źle zrobione, albo nie da się tego zrobić:
\(\displaystyle{ a _{n}=-3a _{n-1} + 2a _{n-2}= -3 \frac{-7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left(\frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n-1} + 2 \cdot \frac{7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2}\right) ^{n-2}}{} = \frac{-51+21 \sqrt{17} }{68} \cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2}\right) ^{n} + \frac{17+ 7 \sqrt{17} }{68} \cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right) ^{n}}\)
-
abc666
Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.
Źle podstawiłeś. Pokaż jak wygląda \(\displaystyle{ a_n}\) który chcesz indukcyjnie udowodnić.
Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.
Z tego \(\displaystyle{ a _{0}}\) oraz \(\displaystyle{ a _{1}}\) wychodzi dobrze.
Podstawienie:
\(\displaystyle{ \frac{-7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n} + \frac{7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^{n}}\)
\(\displaystyle{ -3 \cdot \left( \frac{-7 \sqrt{17}+17 }{34} \right)\cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n-1} + 2 \cdot \left( \frac{7 \sqrt{17}+17 }{34} \right)\cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^{n-2}}\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ \frac{-7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n} + \frac{7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^{n}}\)
\(\displaystyle{ -3 \cdot \left( \frac{-7 \sqrt{17}+17 }{34} \right)\cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n-1} + 2 \cdot \left( \frac{7 \sqrt{17}+17 }{34} \right)\cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^{n-2}}\)
-
abc666
Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.
Skoro twój wzór to
\(\displaystyle{ a_n=\frac{-7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n} + \frac{7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^{n}}\)
to
\(\displaystyle{ -3a _{n-1}+2a _{n-2}=-3\left( \frac{-7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n-1} + \frac{7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^{n-1} \right)+2\left( \frac{-7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n-2} + \frac{7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^{n-2} \right)}\)
\(\displaystyle{ a_n=\frac{-7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n} + \frac{7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^{n}}\)
to
\(\displaystyle{ -3a _{n-1}+2a _{n-2}=-3\left( \frac{-7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n-1} + \frac{7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^{n-1} \right)+2\left( \frac{-7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n-2} + \frac{7 \sqrt{17}+17 }{34} \cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^{n-2} \right)}\)
Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.
no własnie..wyniki także moga wyjsc po pierwiastkiem...takie nie "ladne" jak to zrobili wyzej
Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.
Wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{-17+7 \sqrt{17} }{34} \cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n} + \frac{-17-7 \sqrt{17} }{34} \cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right) ^{n}}\)
Nie zgadza się z wzorem na \(\displaystyle{ a _{n}}\).
Sprawdziłem kilka razy i wychodzi za każdym razem to samo. Mógłby mi ktoś napisać co jest źle zrobione?
\(\displaystyle{ \frac{-17+7 \sqrt{17} }{34} \cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n} + \frac{-17-7 \sqrt{17} }{34} \cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right) ^{n}}\)
Nie zgadza się z wzorem na \(\displaystyle{ a _{n}}\).
Sprawdziłem kilka razy i wychodzi za każdym razem to samo. Mógłby mi ktoś napisać co jest źle zrobione?
-
abc666
Podaj jawny wzór i udowodnij poprawność.
Ale nikt ci nie powie co robisz źle jak tego nie widzi Wiem, że jest dużo pisania w stosunku do treści, ale inaczej się nie da.
Pamiętaj do czego chcesz doprowadzić, nie przekształcaj tak "jak się da" tylko tak "jak trzeba" żeby uzyskać to co chcesz. Twój wzór wygląda tak
\(\displaystyle{ a_n=c_1\cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n} + c_2 \cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^{n}}\)
i mamy
\(\displaystyle{ a_n=-3a _{n-1}+2a _{n-2}}\)
to
\(\displaystyle{ a_n=-3c_1\cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n-1}-3c_2\cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^{n-1}+2c_1\cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n-2}+2c_2\cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^{n-2}}\)
Wiec wystarczy, że pokażesz, że prawdą jest
\(\displaystyle{ -3c_1\cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right)+2c_1=c_1\left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right)^2}\)
oraz
\(\displaystyle{ -3c_2\cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)+2c_2=c_2\left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^2}\)
Pamiętaj do czego chcesz doprowadzić, nie przekształcaj tak "jak się da" tylko tak "jak trzeba" żeby uzyskać to co chcesz. Twój wzór wygląda tak
\(\displaystyle{ a_n=c_1\cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n} + c_2 \cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^{n}}\)
i mamy
\(\displaystyle{ a_n=-3a _{n-1}+2a _{n-2}}\)
to
\(\displaystyle{ a_n=-3c_1\cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n-1}-3c_2\cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^{n-1}+2c_1\cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right) ^{n-2}+2c_2\cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^{n-2}}\)
Wiec wystarczy, że pokażesz, że prawdą jest
\(\displaystyle{ -3c_1\cdot \left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right)+2c_1=c_1\left( \frac{-3- \sqrt{17} }{2} \right)^2}\)
oraz
\(\displaystyle{ -3c_2\cdot \left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)+2c_2=c_2\left( \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} \right)^2}\)