Rekurencja liniowa I rzędu - pilny problem, raczej ogólny

[PolGraphic]

Witam serdecznie.

Mam rekurencje liniową, 1 rzędu postaci:
\(\displaystyle{ a_{n} = q*a_{n-1} + d*p^n}\)

Tak więc wiem, że ciąg \(\displaystyle{ t_{n} = B *p^n}\) będzie mi spełniał tą tożsamość.
Podstawiając:
\(\displaystyle{ B*p^n=q*B*p^{(n-1)}+d*p^n}\)
...
\(\displaystyle{ B=d/(p-q)}\) (dla p!=q, dla równego mam B=d)

(1)

I teraz moje pytanie: jak więc wygląda rozwiązanie (wzór na \(\displaystyle{ a_{n}}\))?

Wiadomo, że będzie miał postać:
\(\displaystyle{ a_{n} = A*q^n+t_{n}}\), gdzie A = const.

Myślałem że powinno być:
\(\displaystyle{ a_{0} = A*q^0+t_{0}}\)
\(\displaystyle{ A=a_{0}-t_{0}}\)
A że \(\displaystyle{ t_{0} = B *p^0 = d/(p-q)}\) (patrze na przypadek p!=q), to chyba \(\displaystyle{ A=a_{0}-d/(p-q)}\)

I postać rozwiązania to:
\(\displaystyle{ a_{n} = (a_{0}-d/(p-q))*q^n+d/(p-q)*p^n}\)

Ale podstawiam jakieś konkretne liczby, i wychodzą błędne wyniki :/
Tak więc muszę coś źle robić od miejsca które oznaczyłem jako (1).

Proszę o możliwie szybką odpowiedź, pytanie chyba natury bardziej ogólnej, niż konkretny przykład do policzenia ;p

[Zordon]

Jeśli \(\displaystyle{ q \neq p}\) to rozwiązanie jest postaci:
\(\displaystyle{ a_n=Aq^n+Bp^n}\)
jeśli zaś \(\displaystyle{ q=p}\) to:
\(\displaystyle{ a_n=Aq^n+Bnq^n}\)

[PolGraphic]

Wiem Zordon, zawsze tak jest (w moim poście starczy podstawić \(\displaystyle{ t_{n} = B *p^n}\) do \(\displaystyle{ a_{n} = A*q^n+t_{n}}\) żeby otrzymać ten wzór ogólny o którym mówisz dla p!=q).
Ale chodziło mi o wzór z podanymi już A i B.
W każdym razie dzięki za szybką reakcję

Znalazłem błąd, który popełniałem.
B=d*p/(p-q), a nie B=d/(p-q)

tak więc ostatecznie:
\(\displaystyle{ a_{n} = (a_{0}-d*p/(p-q))*q^n+d*p/(p-q)*p^n}\)

I teraz zgadza się też na konkretnych liczbach

[Dumel]

164444.htm

[PolGraphic]

Widziałem ten temat...
Ale tam mieli dokładnie ten sam, niepoprawiony błąd (napisałem już w tamtym temacie o tym) ;p