Witam,
mógłby ktoś mi wyjaśnić na przykładach jak to się je:
1. Znaleźć funkcje tworzące dla ciągów:
a) \(\displaystyle{ a_{n} = n}\)
b) \(\displaystyle{ b_{n} = 1 + 2 + ... + n}\)
c) \(\displaystyle{ c_{n} = n^{2}}\)
d) \(\displaystyle{ d_{n} = 2^{n}}\)
2. Jakim ciągom odpowiadają następujące funkcje tworzące:
a) \(\displaystyle{ (1-x)^{-n}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{x^{n}}{(1-x)^{n}}}\)
c) \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x^{3}}}\)
d) \(\displaystyle{ (1+x)^{n} + (1-x)^{n}}\)
e) \(\displaystyle{ \frac{(1+x)^{2}}{(1-x)^{4}}}\)
f) \(\displaystyle{ \frac{1}{5-6x+x^{2}}}\)-- 30 grudnia 2009, 12:41 --Pomoże ktoś?
Funkcje tworzące
-
mazi_piotrek
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 29 gru 2008, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lądek Zdrój
- Podziękował: 3 razy
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Funkcje tworzące
1.
a) Wystarczy scałkować skorzystać ze wzoru na sumę postępu geometrycznego i zróżniczkować:
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{n=0}^{\infty}nx^{n} = x\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n-1} = x\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\right)' = x\left(\frac{1}{1 - x}\right)' = \frac{x}{(1-x)^{2}}}\)
b) Zauważmy najpierw, że:
\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{n(n+1)}{2}}\)
dalej postępujemy jak w a):
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n(n+1)}{2}x^{n} = \frac{x}{2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}\right)^{(2)}}\)
c) Podobnie:
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{n=0}^{\infty}n^{2}x^{n} = x\sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)x^{n-1} - x\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}}\)
i dalej zwijamy każdy składnik odpowiednio tak jak w b) i a).
d) Sumujemy szereg geometryczny:
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{n=0}^{\infty}2^{n}x^{n} = \frac{1}{1 - 2x}}\)
2. Wszędzie wystarczy rozwinąć funkcję w szereg i spojrzeć na współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{n}}\):
a) Korzystamy z .
b) przemnażamy wynik z a) przez \(\displaystyle{ x^{n}}\)
c) Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 - x^{3}} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{3n}}\)
d) Ta funkcja to wielomian - ma skończone rozwinięcie. Konkretniej wzór dwumienny Newtona załatwia sprawę.
e) wstawiamy w a) \(\displaystyle{ n= 4}\) przemnażamy przez \(\displaystyle{ (1 + x)^{2} = 1 + 2x + x^{2}}\) i grupujemy.
f) Korzystając z równości \(\displaystyle{ 5 - 6x + x^{2} = (1 - x)(5 - x)}\) rozkładamy ułamek na ułamki proste:
\(\displaystyle{ \frac{1}{5 - 6x + x^{2}} = \frac{A}{1 - x} + \frac{B}{5- x},}\)
(stałe \(\displaystyle{ A,B}\) wyliczamy z odpowiednich równań)
a następnie rozwijamy każdy składnik w szereg (geometryczny) i grupujemy ich sumę względem potęg \(\displaystyle{ x}\).
a) Wystarczy scałkować skorzystać ze wzoru na sumę postępu geometrycznego i zróżniczkować:
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{n=0}^{\infty}nx^{n} = x\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n-1} = x\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\right)' = x\left(\frac{1}{1 - x}\right)' = \frac{x}{(1-x)^{2}}}\)
b) Zauważmy najpierw, że:
\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{n(n+1)}{2}}\)
dalej postępujemy jak w a):
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n(n+1)}{2}x^{n} = \frac{x}{2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}\right)^{(2)}}\)
c) Podobnie:
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{n=0}^{\infty}n^{2}x^{n} = x\sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)x^{n-1} - x\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}}\)
i dalej zwijamy każdy składnik odpowiednio tak jak w b) i a).
d) Sumujemy szereg geometryczny:
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{n=0}^{\infty}2^{n}x^{n} = \frac{1}{1 - 2x}}\)
2. Wszędzie wystarczy rozwinąć funkcję w szereg i spojrzeć na współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{n}}\):
a) Korzystamy z .
b) przemnażamy wynik z a) przez \(\displaystyle{ x^{n}}\)
c) Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 - x^{3}} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{3n}}\)
d) Ta funkcja to wielomian - ma skończone rozwinięcie. Konkretniej wzór dwumienny Newtona załatwia sprawę.
e) wstawiamy w a) \(\displaystyle{ n= 4}\) przemnażamy przez \(\displaystyle{ (1 + x)^{2} = 1 + 2x + x^{2}}\) i grupujemy.
f) Korzystając z równości \(\displaystyle{ 5 - 6x + x^{2} = (1 - x)(5 - x)}\) rozkładamy ułamek na ułamki proste:
\(\displaystyle{ \frac{1}{5 - 6x + x^{2}} = \frac{A}{1 - x} + \frac{B}{5- x},}\)
(stałe \(\displaystyle{ A,B}\) wyliczamy z odpowiednich równań)
a następnie rozwijamy każdy składnik w szereg (geometryczny) i grupujemy ich sumę względem potęg \(\displaystyle{ x}\).