Witam,
mam problem ze (zdaje się) bardzo prostymi przykładami, ale po prostu nie potrafię znaleźć punktu zaczepienia w tych przykładach. Chyba mam jakieś błędy w notatkach, trudno mi w zasadzie powiedzieć, ale do sedna:
\(\displaystyle{ a_{0}=0
a_{n}= -3a_{n-1} - 5*2 ^{n-1}}\)
Zapiszę poniżej, czego próbowałem, gdyż nie chodzi mi tyle o wynik, co o sposób rozwiązania bym poradził sobie z dalszymi przykładami.
Ukryta treść:
Na wykładzie dostaliśmy przykład:
\(\displaystyle{ a_{n}=qa_{n-1}+dp^{n}}\)
analogicznie zauważyłem, że to co nas interesuje to ciąg
\(\displaystyle{ t_{n}=dp^{n}}\),
w tym wypadku \(\displaystyle{ t_{n}=-5*2^{n-1}.}\)
Dostaliśmy też wzór na rozwiązanie rekurencji, że będzie on wyglądał następująco:
Dostałem Tw2 które mówi, że jeśli \(\displaystyle{ q \neq 0,1}\) to
jeśli istnieje: \(\displaystyle{ t_{n} = qt_{n − 1} + b_{n}}\)
istnieje wtedy stała A spełniająca równanie:
\(\displaystyle{ a_{n} = Aq^{n} + t_{n}}\)
Nie umiem z niego skorzystać, bo nie wiem jak mam niby wyznaczyć \(\displaystyle{ t{n},}\)
i Tw3 \(\displaystyle{ b_{n} = dp^{n} , d = const, p = const, p \neq q}\)
to \(\displaystyle{ b_{n} = Bp^{n}, dla B=d/(p-q)}\)
wychodzi mi z tego bzdura.
No i nie wiem co zrobić.
Dzięki z góry za odpowiedź
Aha, tak 4fun pierwsze 10 wyrazów ciągu:
0
-5
5
-35
65
-275
665
-2315
6305
-20195
58025
to że masz jakieś nie wiadomo czy prawdziwe wzory niewiele daje. masz tu metode rozwiązania, mysle ze to bardziej Ci pomoże:
\(\displaystyle{ a_n=qa_{n-1}+dp^n}\)
niech \(\displaystyle{ a_n=p^nb_n}\). wtedy: \(\displaystyle{ b_n= \frac{q}{p} b_{n-1}+d}\)
spróbujmy dobrać taką stałą A, aby po podstawieniu \(\displaystyle{ b_n=c_n+A}\) to d po prawej stronie nam zniknęło: \(\displaystyle{ A=\frac{q}{p}A+d}\) \(\displaystyle{ A(1-\frac{q}{p})=d}\)
przypadek p=q jest łatwy do oddzielnego rozpatrzenia, a tak to bierzemy \(\displaystyle{ A= \frac{d}{1-\frac{q}{p}}}\)
i mamy \(\displaystyle{ c_{n}=\frac{q}{p}c_{n-1}}\)
teraz łatwo już wyliczyć wartości wyrazów ciągu c, potem b i a
Zadania to można także zrobić bardzo prostą metodą czynnika sumacyjnego.
Mamy \(\displaystyle{ a_nx_n=b_nx_{n-1}+c_n}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_n}\) to nasz ciąg, a pozostałe to jakieś inne ciągi. U nas \(\displaystyle{ a_n=1 \\
b_n=-3 \\
c_n=-5\cdot 2^{n-1}}\)
Mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ s_n= \frac{a_{n-1}a_{n-2}...a_{1}}{b_nb_{n-1}...b_2}}\)
czyi u nas przez \(\displaystyle{ \left(- \frac{1}{3} \right) ^{n-1}}\)
Dostajemy \(\displaystyle{ \left(- \frac{1}{3} \right) ^{n-1}x_n=\left(- \frac{1}{3} \right) ^{n-2}x_{n-1}-5\cdot \left(- \frac{2}{3} \right) ^{n-1}}\)
Teraz robimy podstawienie \(\displaystyle{ W_n=\left(- \frac{1}{3} \right) ^{n-1}x_n}\)
i dostajemy \(\displaystyle{ W_n=W_{n-1}-5\cdot \left(- \frac{2}{3} \right) ^{n-1}}\)
A rozwiązanie tego sprowadza się do policzenia sumy ciągu geometrycznego. Potem wracamy do podstawienia i mamy odpowiedź.
Atais - w metodzie z \(\displaystyle{ wyznaczamy Bp^{n}=q*Bp^{n-1} + dp^{n} |: p^{n-1}}\)
miałeś identyczny błąd jak ja (pewnie błąd w tym samym dokumencie, skoro też Łódź, może PŁ, Matematyka Dyskretna?)
przecież po podzieleniu stronami przez \(\displaystyle{ p^{n-1}}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ B= {dp}/(p-q)}\) a nie \(\displaystyle{ B= {d}/(p-q)}\)
