Dwumian Newtona - dowód kombinatoryczny

[patry93]

Witam.

Wykazać "kombinatorycznie", że \(\displaystyle{ (a+b)^n= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^kb^{n-k}}\).

Rozpisując lewą stronę: \(\displaystyle{ (a+b)^n= \underbrace{(a+b)(a+b) \ldots (a+b)}_{k} \underbrace{(a+b)(a+b) \ldots (a+b)}_{n-k}}\)
Wykonując mnożenie otrzymamy składniki postaci \(\displaystyle{ a^kb^{n-k}}\).
Czynnik \(\displaystyle{ a}\) bierzemy z \(\displaystyle{ k}\) nawiasów, czyli na \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) sposobów, a czynnik \(\displaystyle{ b}\) z pozostałych \(\displaystyle{ n-k}\) nawiasów, czyli też na \(\displaystyle{ {n \choose n-k} = {n \choose k}}\) sposobów, więc składnik postaci \(\displaystyle{ a^kb^{n-k}}\) powinien wystąpić \(\displaystyle{ {n \choose k} \cdot {n \choose k}}\) razy, a występuje \(\displaystyle{ {n \choose k}}\). Gdzie jest błąd w rozumowaniu? :/

Z góry dziękuję.

[abc666]

Jeśli wybrałeś już k nawiasów to pozostałe zostają automatycznie przydzielone do b. Już ich nie wybieramy.