Witam,
mam problem z takim zadaniem:
Nauczyciel przepytał 7 uczniów, na ile sposobów może wystawić każdej z tych osób ocenę jeżeli:
żadna osoba nie otrzymała 1 a każdą z pozostałych ocen (2,3,4,5,6) otrzymała co najmniej jedna osoba?
Na ile sposobów 7 uczniów moze dostac oceny.
-
Baca48
- Użytkownik
- Posty: 195
- Rejestracja: 1 sty 2008, o 13:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wielkopolska
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 56 razy
Na ile sposobów 7 uczniów moze dostac oceny.
Zadanie można podzielić na dwa etapy:
ETAP 1: Ocen jest 5, a skoro każda z ocen wystąpiła co najmniej jeden raz, to wybieramy 5 osób z 7 którym przyznamy te 5 ocen. Można to zrobić na:
\(\displaystyle{ {7 \choose 5} \cdot 5!}\) sposobów (można to interpretować jako wariację bez powtórzeń)
ETAP 2: Pozostałym dwóm osobom możemy już przydzielić bez ograniczeń jedną z 5 ocen (bo mamy zagwarantowane z etapu pierwszego, że każda ocena wystąpiła co najmniej raz). Można to zrobić na:
\(\displaystyle{ 5^2}\) sposobów (wariacja z powtórzeniami)
PODSUMOWUJĄC:
\(\displaystyle{ {7 \choose 5} \cdot 5! \cdot 5^2}\)
Pozdrawiam
ETAP 1: Ocen jest 5, a skoro każda z ocen wystąpiła co najmniej jeden raz, to wybieramy 5 osób z 7 którym przyznamy te 5 ocen. Można to zrobić na:
\(\displaystyle{ {7 \choose 5} \cdot 5!}\) sposobów (można to interpretować jako wariację bez powtórzeń)
ETAP 2: Pozostałym dwóm osobom możemy już przydzielić bez ograniczeń jedną z 5 ocen (bo mamy zagwarantowane z etapu pierwszego, że każda ocena wystąpiła co najmniej raz). Można to zrobić na:
\(\displaystyle{ 5^2}\) sposobów (wariacja z powtórzeniami)
PODSUMOWUJĄC:
\(\displaystyle{ {7 \choose 5} \cdot 5! \cdot 5^2}\)
Pozdrawiam
Na ile sposobów 7 uczniów moze dostac oceny.
Dzięki za zainteresowanie
Wiesz co myślałem podobnie, ale w odpowiedziach jest wynik 16800 podczas gdy u Ciebie wyszło 63000. Czy to błąd w odpowiedziach czy może jest jakiś błąd w rozumowaniu?
Wiesz co myślałem podobnie, ale w odpowiedziach jest wynik 16800 podczas gdy u Ciebie wyszło 63000. Czy to błąd w odpowiedziach czy może jest jakiś błąd w rozumowaniu?
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Na ile sposobów 7 uczniów moze dostac oceny.
Zliczacie po kilka razy te same możliwości:
Powiedzmy, że mamy uczniów \(\displaystyle{ A, B, C, D, E, F, G.}\)
Przy takim podejściu jak wyżej trzy razy liczymy np taką sytuację:
\(\displaystyle{ A - 5,\ B - 4,\ C - 3, \ D - 2, \ E - 6,\ F - 6,\ G - 6}\)
jeden raz - jeśli piątka wybranych na początku uczniów to \(\displaystyle{ ABCDE,}\) drugi raz - jeśli ta piątka to \(\displaystyle{ ABCDF,}\) a trzeci - jeśli jest to \(\displaystyle{ ABCDG.}\)
Co do rozwiązania, to są dwie możliwości:
Albo jedna ocena powtórzy się 3 razy, albo dwie oceny powtórzą się 2 razy.
W pierwszym przypadku mamy \(\displaystyle{ {5\choose 1}\frac{7!}{3!}}\) a w drugim \(\displaystyle{ {5\choose 2}\frac{7!}{2!2!}}\) sposobów (najpierw wybieramy oceny, które się powtórzą, a następnie tworzymy permutacje z powtórzeniami przyporządkowując oceny uczniom).
Powiedzmy, że mamy uczniów \(\displaystyle{ A, B, C, D, E, F, G.}\)
Przy takim podejściu jak wyżej trzy razy liczymy np taką sytuację:
\(\displaystyle{ A - 5,\ B - 4,\ C - 3, \ D - 2, \ E - 6,\ F - 6,\ G - 6}\)
jeden raz - jeśli piątka wybranych na początku uczniów to \(\displaystyle{ ABCDE,}\) drugi raz - jeśli ta piątka to \(\displaystyle{ ABCDF,}\) a trzeci - jeśli jest to \(\displaystyle{ ABCDG.}\)
Co do rozwiązania, to są dwie możliwości:
Albo jedna ocena powtórzy się 3 razy, albo dwie oceny powtórzą się 2 razy.
W pierwszym przypadku mamy \(\displaystyle{ {5\choose 1}\frac{7!}{3!}}\) a w drugim \(\displaystyle{ {5\choose 2}\frac{7!}{2!2!}}\) sposobów (najpierw wybieramy oceny, które się powtórzą, a następnie tworzymy permutacje z powtórzeniami przyporządkowując oceny uczniom).
Na ile sposobów 7 uczniów moze dostac oceny.
a ja bym powiedziala ze n=7 a k=5 wiec \(\displaystyle{ 7 ^{5}}\)= 16807