2 sumy i nierownosc z liczbami pierwszymi

[patt]

Witam serdecznie!
Mam następujące zadania i bardzo proszę o wskazówki:

1. Obliczyć:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{k^2}{2^k}}\)

2. Obliczyć:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \frac{ {n \choose k} }{k+1}}\)

3. Udowodnić, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\):
\(\displaystyle{ p_n \le 2^{2^{n-1}}}\), gdzie \(\displaystyle{ p_n}\) oznacza n-tą liczbę pierwszą.

Z góry dziękuję za pomoc, bo już nie wiem, co z tym zrobić

[abc666]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \frac{ {n \choose k} }{k+1}=\sum_{k=0}^{n} \frac{ \frac{n!}{k!(n-k)!} }{k+1}=\sum_{k=0}^{n} \frac{ n! }{(k+1)!(n-k)!}= \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} \frac{ (n+1)! }{(k+1)!(n+1-1-k)!}=\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} \frac{ (n+1)! }{(k+1)!((n+1)-(k+1))!}=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} {n+1 \choose k+1}=...}\)

[Dumel]

w pierwszym metoda zaburzania
w trzecim twierdzenie Czebyszewa daje dużo lepsze (choć i tak słabe) oszacowanie

[patt]

Dzięki wielkie za tak szybką odpowiedź. Poszły wszystkie