Witam,
chciałbym wiedzieć czy dobrze rozwiązałem takie zadanie:
Klasę złożoną z 38 uczniów podzielono losowo na 2 równoliczne grupy na zajęcia z języka obcego. Ile jest możliwości przydziału do grup, tak aby Kowalski i Wysocka znaleźli się w różnych grupach.
Liczba sposobów wyboru I ucznia (Kowalski/Wysocka) - \(\displaystyle{ {2 \choose 1}}\)
Liczba sposobów wyboru pozostałych uczniów grupy - \(\displaystyle{ \frac{36!}{18!}}\)
Łącznie: \(\displaystyle{ 2* \frac{36!}{18!}}\)
Podział 38 osobowej klasy na 2 grupy
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Podział 38 osobowej klasy na 2 grupy
Skąd masz taki wynik?Krys pisze: Liczba sposobów wyboru pozostałych uczniów grupy - \(\displaystyle{ \frac{36!}{18!}}\)
Jeżeli masz podzielić 36 uczniów na 2 grupy, to po prostu wybierasz 18 stanowiących jedną grupę a pozostali tworzą drugą grupę. Wszystkich możliwości wyboru jest więc tyle ile wynosi kombinacja 18-elementowa ze zbioru 36-elementowego, czyli:
\(\displaystyle{ C^{18}_{36}= \frac{36!}{18! \cdot (36-18)!}= \frac{36!}{18! \cdot 18!}}\)
-
Krys
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 8 cze 2007, o 21:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowieckie
- Podziękował: 1 raz
Podział 38 osobowej klasy na 2 grupy
Zapomniałem drugiej 18! w mianowniku dopisać Chodzi mi o to czy ten wynik nie powinien być jeszcze pomnożony razy 2 - sytuacja gdyby te dwie osoby zamieniły grupy.
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Podział 38 osobowej klasy na 2 grupy
Czy należy ten wynik pomnożyć przez 2 zależy od interpretacji czy te dwie utworzone grupy są rozróżnialne czy też nie.
Jeżeli te grupy są nierozróżnialne tzn. ważny jest tylko skład grupy, to już nie trzeba przez nic mnożyć. Bo zauważ, że ten wybór można zinterpretować tak: wybieramy 18 osób, które dołączą do Kowalskiego a pozostała 18-tka dołączy do Wysockiej.
Mogłoby się wydawać, że po wyborze 18 osób musimy teraz wybrać czy do tej grupy dołączy Kowalski czy Wysocka, czyli mamy dwie możliwości. Ale tak nie jest bo ten podział na dwie grupy uwzględnia każdą parę grup dwukrotnie.
Pokażę Ci to na mniejszym przykładzie (żeby było mniej pisania) np. 8 osób + dwie A i B które muszą być w różnych grupach. Ten wybór 4 osób (jako kombinacja 4-elementowa ze zbioru 8-elementoweg) może wyglądać tak:
G1={1,3,4,7} (pozostaje G2={2,5,6,8})
Ale także tak:
G1={2,5,6,8} (pozostaje G2={1,3,4,7})
Jak widzisz drugi wybór jest takim samym podziałem na dwie grupy jak i pierwszy. Jeżeli teraz do G1 w pierwszym podziale dodamy A, a do G2 dodamy B, to będzie dokładnie tak samo jakbyśmy w drugim podziale do G1 dodali B a do G2 dodali A.
Widzisz więc, że zadeklarowanie, że do G1 dodajemy A a do G2 dodajemy B wyczerpuje wszystkie możliwości.
Natomiast jeżeli grupy są rozróżnialne tzn. ważny jest zarówno skład grupy jak i nazwa (np. G1 uczyć się będzie hiszpańskiego a G2 niemieckiego). Wówczas widać, że podziały:
G1={1,3,4,7} (pozostaje G2={2,5,6,8})
oraz:
G1={2,5,6,8} (pozostaje G2={1,3,4,7})
są różne.
Wtedy w pierwszym podziale do G1 możemy przydzielić A lub B podobnie jak w drugim podziale. Oznacza to, że A może być w takiej samej grupie ale raz uczyć się hiszpańskiego a raz niemieckiego.
Wtedy oczywiście wszystkich możliwości podziału jest dwa razy więcej.
Czy to wyjaśnienie Ci wystarczy?
Żeby nie było wątpliwości to to rozważanie dotyczy tylko takiej sytuacji gdy podział jest na dwie równe grupy.
Jeżeli te grupy są nierozróżnialne tzn. ważny jest tylko skład grupy, to już nie trzeba przez nic mnożyć. Bo zauważ, że ten wybór można zinterpretować tak: wybieramy 18 osób, które dołączą do Kowalskiego a pozostała 18-tka dołączy do Wysockiej.
Mogłoby się wydawać, że po wyborze 18 osób musimy teraz wybrać czy do tej grupy dołączy Kowalski czy Wysocka, czyli mamy dwie możliwości. Ale tak nie jest bo ten podział na dwie grupy uwzględnia każdą parę grup dwukrotnie.
Pokażę Ci to na mniejszym przykładzie (żeby było mniej pisania) np. 8 osób + dwie A i B które muszą być w różnych grupach. Ten wybór 4 osób (jako kombinacja 4-elementowa ze zbioru 8-elementoweg) może wyglądać tak:
G1={1,3,4,7} (pozostaje G2={2,5,6,8})
Ale także tak:
G1={2,5,6,8} (pozostaje G2={1,3,4,7})
Jak widzisz drugi wybór jest takim samym podziałem na dwie grupy jak i pierwszy. Jeżeli teraz do G1 w pierwszym podziale dodamy A, a do G2 dodamy B, to będzie dokładnie tak samo jakbyśmy w drugim podziale do G1 dodali B a do G2 dodali A.
Widzisz więc, że zadeklarowanie, że do G1 dodajemy A a do G2 dodajemy B wyczerpuje wszystkie możliwości.
Natomiast jeżeli grupy są rozróżnialne tzn. ważny jest zarówno skład grupy jak i nazwa (np. G1 uczyć się będzie hiszpańskiego a G2 niemieckiego). Wówczas widać, że podziały:
G1={1,3,4,7} (pozostaje G2={2,5,6,8})
oraz:
G1={2,5,6,8} (pozostaje G2={1,3,4,7})
są różne.
Wtedy w pierwszym podziale do G1 możemy przydzielić A lub B podobnie jak w drugim podziale. Oznacza to, że A może być w takiej samej grupie ale raz uczyć się hiszpańskiego a raz niemieckiego.
Wtedy oczywiście wszystkich możliwości podziału jest dwa razy więcej.
Czy to wyjaśnienie Ci wystarczy?
Żeby nie było wątpliwości to to rozważanie dotyczy tylko takiej sytuacji gdy podział jest na dwie równe grupy.