Rekurencja laik

[rafcio363]

Rozwiąż rekurencję za pomocą funkcji tworzących.
\(\displaystyle{ an \begin{cases} 0 n<0 \\ 5a _{n-1}-4a _{n-2}+2 ^{n} n \ge 0 \end{cases}}\)
Podstawiając do wzoru funkcji tworzącej
\(\displaystyle{ A(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }(5a _{n-1}-4a _{n-2}+2 ^{n})}\)
\(\displaystyle{ 5x \sum_{n=0}^{ \infty }a _{n-1} \cdot x ^{n-1} -4x ^{2}\sum_{n=0}^{ \infty }a _{n-2} \cdot x ^{n-2} +\sum_{n=0}^{ \infty }2 ^{n} \cdot x ^{n}}\)
( poco wyciiągać \(\displaystyle{ x ^{2}}\) przed drugą sumę ?)

Korzystamy ze wzoru na ciąg geometryczny.
\(\displaystyle{ A(x)= \sum_{n \ge 0}^{}q ^{n} \cdot x ^{n}= \frac{1}{1-qx}}\)

\(\displaystyle{ A(x)=5x \cdot A(x)-4x ^{2} \cdot A(x)+\frac{1}{1-2x}}\)

Nie rozumiem jak po przeniesieniu na lewą strone \(\displaystyle{ 5x \cdot A(x)-4x ^{2} \cdot A(x)}\)
zrobiła sie z A(x) jednyka (1)?
\(\displaystyle{ A(x) \cdot (1-5x+4x ^{2} )=\frac{1}{1-2x}}\)

\(\displaystyle{ (1-2x) \cdot (1-x) \cdot (1-4x)= \frac{1}{A(x)}}\)
\(\displaystyle{ A(x)= \frac{1}{(1-2x)(1-x)(1-4x)}}\)

Dodam że jestem laik w temacie ale niestety teraz uczą pod hasłem "Naucz się sam".

[BettyBoo]

Wzór funkcji tworzącej jest tak naprawdę w postaci \(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}\)

Do wzoru wstawiasz najpierw wzór na n-ty wyraz, a potem porządkujesz i wyłączasz tak, aby otrzymać znowu A(x).

Dokładniej to wygląda tak:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a _{n-1} \cdot x ^{n-1}= \sum_{n=-1}^{ \infty }a _{n} \cdot x ^{n}=a_{-1}x^{-1}+\sum_{n=0}^{ \infty }a _{n} \cdot x ^{n}=0+A(x)=A(x)}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a _{n-2} \cdot x ^{n-2} =\sum_{n=-2}^{ \infty }a _{n} \cdot x ^{n}=a_{-2}x^{-2}+a_{-1}x^{-1}+\sum_{n=0}^{ \infty }a _{n} \cdot x ^{n}=0+0+A(x)=A(x)}\)

co wynika z własności sum oraz z definicji ciągu. Stąd masz równość \(\displaystyle{ A(x)=5x \cdot A(x)-4x ^{2} \cdot A(x)+\frac{1}{1-2x}}\). No a dalej \(\displaystyle{ A(x)-5x \cdot A(x)+4x ^{2} \cdot A(x)=\frac{1}{1-2x}}\) i jak wyłączysz A(x) to masz to, co masz.

Dla dokończenia zadania trzeba zrobić rozkład A(x) na sumę 3 ułamków prostych i skorzystać ponownie z sumy szeregu geometrycznego (a konkretnie z 3 sum). Jak to pododajesz, to interesujący Cię ciąg w jawnej postaci stanowią współczynniki przy kolejnych potęgach x.

Pozdrawiam.

[rafcio363]

\(\displaystyle{ \frac{A(1-5x+4x ^{2})+B(1-6x+8x ^{2})+C(1-3x+2x ^{2}) }{(1-2x)(1-x)(1-4x)}}\)
Dotąd doszedłem.
Jak z tego wyżej wychodzi takie wyciągnięcie x przed nawias i skad wynika \(\displaystyle{ 0x ^{2} +0x+1}\)

\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} \cdot (4A+8B+2C)+x \cdot x (-5A-6B-3C)+A+B+C}{(1-2x)(1-x)(1-4x)}=0x ^{2} +0x+1}\)

I potem jest już dla mnie "proste":
\(\displaystyle{ 4A+8B+2C=0}\)
\(\displaystyle{ -5A-6B-3C=0}\)
\(\displaystyle{ A+B+C=1}\)

[BettyBoo]

Cóś tu dziwnego napisałeś

Można robić taką metodą, ale ponieważ wszystkie czynniki w mianowniku są liniowe, to lepiej nie korzystać z równości wielomianów, tylko z równości funkcji:

\(\displaystyle{ \left.\frac{1}{(1-2x)(1-x)(1-4x)}=\frac{A}{1-2x}+\frac{B}{1-x}+\frac{C}{1-4x}\right| \cdot(1-2x)(1-x)(1-4x)\ \Rightarrow \\ \\ \\ \\ 1=A(1-x)(1-4x)+B(1-2x)(1-4x)+C(1-2x)(1-x)}\)

A teraz zaczynają się różnice między "Twoją" metodą i "moją"

Potraktujmy to jak dwie funkcje, a nie dwa wielomiany. Funkcje są równe jeśli mają takie same dziedziny i takie same wartości dla każdego argumentu. Ponieważ my chcemy znaleźć z tego równania 3 niewiadome, to wystarczy zastosować definicję równości funkcji dla 3 (dowolnie wybranych) argumentów.

Jasne więc, jakie argumenty wybrać, żeby się fajnie liczyło, no nie?

Jeśli niejasne to kliknij tu:    

Zera wielomianu z mianownika

Podstawiamy je po kolei do równania:

\(\displaystyle{ x=1\ \Rightarrow \ 1=3B \\ \\ x=\frac{1}{2}\ \Rightarrow \ 1=-\frac{1}{2}A \\ \\ x=\frac{1}{4}\ \Rightarrow \ 1=\frac{3}{8}C \\ \\}\)

Pozdrawiam.

[Goter]

Dokładnie. Aż smutne, że bardzo wiele osób nie zna tej metody rozkładu na ułamki proste i męczą się i meczą z tymi równaniami a można przecież tak prosto jak to zrobiła BettyBoo

[rafcio363]

\(\displaystyle{ A=-2\\ B= \frac{1}{3} \\ C= \frac{8}{3} \\
\frac{A}{1-2x}+\frac{B}{1-x}+\frac{C}{1-4x}=\frac{-2}{1-2x}+\frac{ \frac{1}{3} }{1-x}+\frac{ \frac{8}{3} }{1-4x}}\)
Ułamki w postaci \(\displaystyle{ \frac{ \alpha }{1-px} \\ \\}\)
Wprowadzamy liczby w szereg funkcyjny :
\(\displaystyle{ \alpha \sum_{n=0}^{ \infty } p ^{n} x^{n}\\
A(x)= -2\sum_{n=0}^{ \infty }2 ^{n} x ^{n} + \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{ \infty }1 ^{n}x ^{n} + \frac{8}{3}\sum_{n=0}^{ \infty }4 ^{n}x ^{n}}\)
Czyli jest to funkcja tworząca ciągu :
\(\displaystyle{ -2 \cdot 2 ^{n} + \frac{1}{3}+ \frac{8}{3} \cdot 4n}\)

Dobrze ??

Faktycznie "Twoja" metoda jest prostsza i szybsza.

[BettyBoo]

Dobrze, tylko ma być \(\displaystyle{ 4^n}\)

Pozdrawiam.

[rafcio363]

Witam.
Niestety problem tego zadania powrócił do mnie po roku... :/

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a _{n-1} \cdot x ^{n-1}= \sum_{n=-1}^{ \infty }a _{n} \cdot x ^{n}=a_{-1}x^{-1}+\sum_{n=0}^{ \infty }a _{n} \cdot x ^{n}=0+A(x)=A(x)}\)
Potrzebuję wiedzieć czemu \(\displaystyle{ a _{n-1} \cdot x ^{n-1}}\) jest równe zero.
W książce znalazłem że można przyjąć że an nie istenieje dla ujemnych n.
Jednak mój wykładowca uważa że to nie jest prawidłowa odpowiedź.

Kolejne rzeczy które muszę wyjaśnić.
\(\displaystyle{ (1-5x+4x ^{2} ) = (1-2x)(1-4x)}\)Skad można wywnioskować takie przekształcenie.

Oraz ostatnia wątpliwość - a raczej pytanie skąd to się wzieło (dociekliwy wykładowca..)
Ułamki w postaci \(\displaystyle{ \frac{ \alpha }{1-px} \\ \\}\)
Wprowadzamy liczby w szereg funkcyjny :
\(\displaystyle{ \alpha \sum_{n=0}^{ \infty } p ^{n} x^{n}\\}\)

[rafcio363]

Odświeżam bo temat pilny.

[Dumel]

\(\displaystyle{ (1-5x+4x ^{2} ) = (1-2x)(1-4x)}\)Skad można wywnioskować takie przekształcenie.

nie mam pojecia, bo nie jest to prawda. za to prawdą jest ze \(\displaystyle{ (1-5x+4x^2)=(1-4x)(1-x)}\) a to widać na pierwszy rzut oka (iliczyn 4, suma 5 wiec wspolczynniki to 4 i 1), a jak ktoś niedowidzi to może policzyć delte i takie tam

Oraz ostatnia wątpliwość - a raczej pytanie skąd to się wzieło (dociekliwy wykładowca..)
Ułamki w postaci \(\displaystyle{ \frac{ \alpha }{1-px} \\ \\}\)
Wprowadzamy liczby w szereg funkcyjny :
\(\displaystyle{ \alpha \sum_{n=0}^{ \infty } p ^{n} x^{n}\\}\)

a to pytanie raczej nie ma sensu, przynajmniej ja go nie widze

[rafcio363]

Dzięki za odpowiedź jednak nie wiele mi ona rozjaśniła.

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a _{n-1} \cdot x ^{n-1}= \sum_{n=-1}^{ \infty }a _{n} \cdot x ^{n}=a_{-1}x^{-1}+\sum_{n=0}^{ \infty }a _{n} \cdot x ^{n}=0+A(x)=A(x)}\)
Potrzebuję wiedzieć czemu\(\displaystyle{ a _{n-1} \cdot x ^{n-1}}\) jest równe zero.
W książce znalazłem że można przyjąć że an nie istenieje dla ujemnych n.
Jednak mój wykładowca uważa że to nie jest prawidłowa odpowiedź.

Tego dalej nie wiem.

Oraz ostatnia wątpliwość - a raczej pytanie skąd to się wzieło (dociekliwy wykładowca..)
Ułamki w postaci\(\displaystyle{ \frac{ \alpha }{1-px} \\ \\}\)
Wprowadzamy liczby w szereg funkcyjny :
\(\displaystyle{ \alpha \sum_{n=0}^{ \infty } p ^{n} x^{n}\\}\)

Tutaj chodzi mi oto skąd można wywnioskować takie podstawienie (wzór,książka,przykład?)
że ułamki w postaci \(\displaystyle{ \frac{ \alpha }{1-px} \\ \\}\)

Zadanie nie jest z tego powodu do końca dla mnie jasne, a mam tak że muszę wiedzieć w nim wszystko aby je zaliczyć,tak więc proszę o pomoc, może być nawet tytuł jakiejś książki.

[Dumel]

każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę ułamków prostych, a taki rozkład sie przydaje do wyznaczenia postaci zwartej

[BettyBoo]

Witam.

Odpowiedź na twoje pierwsze pytanie: z definicji ciągu \(\displaystyle{ a_n}\), którą podałeś w pierwszym poście.

Odpowiedź na drugie pytanie: z rozwinięcia funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{ \alpha }{1-px}}\) w szereg Maclaurina.

Pozdrawiam.