Funkcje sufit i podłoga

[Watari]

1) Niech \(\displaystyle{ n \in N \wedge c \in R}\) Ile rozwiązań (w zależności od n i c) ma następujące równanie: \(\displaystyle{ (n+1)x = c + \lfloor nx \rfloor}\) ?

2) Obliczyć sumę \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1} \lfloor log_{2}k \rfloor}\)

3) Znajdź warunek konieczny i dostateczny na to, by liczba rzeczywista b>1 spełniała równość \(\displaystyle{ \lfloor log_{b}x \rfloor = \lfloor log_{b}\lfloor x \rfloor \rfloor}\) dla wszystkich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x \ge 1}\)


Bardzo proszę o pomoc.

[Dumel]

3) dla całkowitych k musi zachodzić implikacja:
\(\displaystyle{ b^k \le x<b^{k+1} \Leftrightarrow b^k \le \lfloor x \rfloor <b^{k+1}}\) czyli oczywiście b musi być naturalne

[Watari]

Mógłbyś jakoś rozwinąć skąd to się wzięło?

[Dumel]

rozpisujesz \(\displaystyle{ \lfloor log_bx \rfloor =k \Leftrightarrow k \le log_bx <k+1 \Leftrightarrow b^k \le x<b^{k+1}}\)

[Watari]

\(\displaystyle{ b^{k} \le \lfloor x \rfloor < b^{k+1}}\) Czemu stąd wnioskujesz, że b musi być naturalne? Nie można zapisać \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor = b^{k}}\), bo \(\displaystyle{ b^{k} i b^{k+1}}\) nie są dwoma kolejnymi liczbami calkowitymi.

[Dumel]

no to chyba oczywiste: jeśli b jest naturalne to masz równoważność między nierównością dla x i nierównością dla \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor}\) a gdyby b nie było naturalne to możesz sobie wybrać x dowolnie blisko \(\displaystyle{ b^k}\) tak aby było \(\displaystyle{ b^k \le x < b^{k+1}}\) i \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor<b^k}\)