Błąd w rozumowaniu

jajokop · Post autor: **jajokop** » 22 lis 2009, o 21:36

Pokaż błąd w rozumowaniu poniższego przykładu i opisz go:
Pokażemy, że wszystkie liczby naturalne są parzyste. Oczywiście 0 jest liczbą parzystą. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną i załóżmy, że k jest parzyste dla wszystkich k < n. Niech n = n1+n2
dla pewnych n1, n2 < n. Ponieważ n1 oraz n2 są mniejsze od n, więc n1 i n2
są parzyste, a zatem n jest parzyste jako suma dwóch liczb parzystych.
Ktoś da radę?

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 22 lis 2009, o 22:00

ale to nie działa dla n=1. nie jest więc prawdą, że dowolna liczba naturalna większa od 0 jest sumą dwóch liczb naturalnych mniejszych od niej.

jajokop · Post autor: **jajokop** » 22 lis 2009, o 23:41

klaustrofob pisze:ale to nie działa dla n=1. nie jest więc prawdą, że dowolna liczba naturalna większa od 0 jest sumą dwóch liczb naturalnych mniejszych od niej.

Dobrze rozumiem, że np dla n=2 i n-3 to również nie jest prawdą, ale dla n=4 mogłoby być to spełnione, bo jeden wyraz mógłby być 2 (parzyste), i drugi 2(też parzyste)-są mniejsze od n i parzyste a suma ich to 4?

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 23 lis 2009, o 07:13

jajokop pisze:Dobrze rozumiem, że np dla n=2 i n-3 to również nie jest prawdą, ale dla n=4 mogłoby być to spełnione, bo jeden wyraz mógłby być 2 (parzyste), i drugi 2(też parzyste)-są mniejsze od n i parzyste a suma ich to 4?

ale teraz nie ma jak zapoczątkować indukcji, tj. nie idzie pierwszy krok: nie jest prawdą, że dla k<4 każda liczba jest sumą dwóch mniejszych od niej parzystych.

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 23 lis 2009, o 10:32

Zacznijmy może od błędnego założenia:

jajokop pisze:Niech n będzie dowolną liczbą naturalną i załóżmy, że k jest parzyste dla wszystkich k < n.

Chyba że definiujesz zbiór \(\displaystyle{ T_n}\) taki, że jego elementy sa parzyste i mniejsze od n. Wówczas wszystkie jego elementy są parzyste. Tylko że wtedy masz źle zdefiniowane dodawanie elementów w tym zbiorze. Jeśli suma dwóch elementów należących do zbioru ma być równa n, a sam element n nie należy do \(\displaystyle{ T_n}\), to takich elementów po prostu nie możesz ze sobą dodać. Patrz ponownie swoje założenie.

Ogólnie, nie bardzo rozumiem co chciałeś osiągnąć tym bezsensownym przykładem

Dumel · Post autor: **Dumel** » 23 lis 2009, o 10:50

Inkwizytor pisze:Zacznijmy może od błędnego założenia:
jajokop pisze:Niech n będzie dowolną liczbą naturalną i załóżmy, że k jest parzyste dla wszystkich k < n.

to jest przecież założenie indukcyjne nie ma sensu mówienie że jest błędne lub nie. błąd tkwi w kroku indukcyjnym o czym juz napisal klaustrofob

jajokop · Post autor: **jajokop** » 23 lis 2009, o 19:01

Dzięki panowie