Rozkład na czynniki

[vindur]

Rozłoż na czynniki:
\(\displaystyle{ 3^{15}}\) \(\displaystyle{ -1}\)
\(\displaystyle{ 5^{12}}\) \(\displaystyle{ -1}\)
\(\displaystyle{ 2^{30}}\) \(\displaystyle{ -1}\)

\(\displaystyle{ 2^{15}}\) \(\displaystyle{ +1}\)
\(\displaystyle{ 3^{15}}\) \(\displaystyle{ +1}\)

Jak to rozłożyć?

[MiSHu]

Witam.

\(\displaystyle{ 3^{15} - 1 = (3^5)^3 - 1^3 = (3^5 - 1)(3^{10} + 3^5 + 1)}\)


\(\displaystyle{ 5^{12} - 1 = (5^4)^3 - 1^3 = (5^4 - 1)(5^8 + 5^4 + 1) = (5^2 - 1)(5^2 + 1)(5^8 + 5^4 + 1) = (5-1)(5+1)(5^2 + 1)(5^8 + 5^4 + 1)}\)

lub

\(\displaystyle{ 5^{12} - 1 = (5^6)^2 - 1^2 = (5^6 - 1)(5^6 + 1) = (5^3 - 1)(5^3 + 1)(5^6 + 1) = (5-1)(5^2+5+1)(5+1)(5^2-5+1)(5^2+1)(5^4-5^2+1)}\)


\(\displaystyle{ 2^{30} - 1 = (2^{10})^3 - 1^3 = (2^{10} - 1)(2^{20} + 2^{10} + 1) = (2^5 - 1)(2^5 + 1)(2^{20} + 2^{10} + 1)}\)

lub

\(\displaystyle{ 2^{30} - 1 = (2^{15})^2 - 1^2 = (2^{15} - 1)(2^15 + 1) = (2^5 - 1)(2^{10} + 2^5 + 1)(2^5 + 1)(2^{10} - 2^5 + 1)}\)


\(\displaystyle{ 2^{15} + 1 = (2^5)^3 + 1^3 = (2^5 + 1)(2^{10} - 2^5 + 1)}\)


\(\displaystyle{ 3^{15} + 1 = (3^5)^3 + 1^3 = (3^5 + 1)(3^{10} - 3^5 + 1)}\)

Pozdrawiam.

[vindur]

Dzięki, ale nie o to dokładnie mi chodziło.
Chcę te liczby rozłożyć na czynniki pierwsze, np.:
\(\displaystyle{ 2^{35} - 1 = 1039 * 3307}\)

[MiSHu]

Witam,
podany przez Ciebie przykład jest błędny akurat...

Po rozłożeniu tak jak to zrobiłem wg wzorów skróconego mnożenia wystarczy każdy czynnik sobie wyliczyć i otrzymasz czynniki w postaci liczb.

Dla przykładu: \(\displaystyle{ 3^{15} + 1 = (3^5)^3 + 1^3 = (3^5 + 1)(3^{10} - 3^5 + 1) =}\)

\(\displaystyle{ = 244 * [(3^5)(3^5 - 1) + 1] = 244 * [(243*242) + 1] = 244 * 58807}\)

Pozdrawiam.

[vindur]

Dzięki, już rozumiem. Mój przykład jest oczywiście błęny - pomyłka przy przepisywaniu.