Udowodnij tożsamość kombinatorycznie

[jajokop]

Udowodnij tożsamości (spróbuj kombinatorycznie) z uzasadnieniem:
(a) \(\displaystyle{ {n \choose k} = {n \choose n-k}}\) gdy k \(\displaystyle{ \le}\)n

(b) \(\displaystyle{ {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1}}\) gdy k < n,
(c) \(\displaystyle{ {n \choose k} = \frac{n}{k} {n-1 \choose k-1}}\) gdy \(\displaystyle{ 0 < k \le n}\)(reguła pochłaniania).

Ja się poddałem. Powodzenia i dziękuje

[Dumel]

klasyka
b)
wybierzmy k+1 osób spośród n+1 - to jest prawda strona. ale możemy to rozbić na dwa przypadki: gdy wybieramy konkretną osobę X (\(\displaystyle{ {n \choose k}}\)) lub nie (\(\displaystyle{ {n \choose k+1}}\)

a) mamy n osób, k z nich ma dostać cukierka. grupę szczęściarzy możemy wybrać normalnie (k z n) - to jest lewa strona. równie dobrze możemy jednoznacznie wyznaczyć szczęściarzy przez pechowców którzy nie dostaną cukierków (jest ich n-k) a to jest prawa strona

c)mnożymy stronami przez k. wybierzmy k z n osób i wśród wybranych osób wybierzmy prezesa. możemy najpierw wybrać k osób a potem prezesa - to jest lewa strona. równie dobrze możemy najpierw wybrać prezesa (na n sposobów) a potem dobrać mu k-1 podwładnych spośród n-1 pozostałych osób

[jajokop]

Podziekował.
Ale macie głowy, ja nie czaję tego.