Zestaw zadań z kombinatoryki podstawowej

[Delkadi]

1. W galerii przygotowywana jest wystawa malarstwa olejnego. Na jednej ze ścian należy zawiesić w jednym rzędzie 8 obrazów. Oblicz, na ile sposobów można to zrobić, jeśli dwa największe płótna:
a) mają być umieszczone na początku i na końcu ściany,
b) mają sąsiadować ze sobą.

2. Dane są zbiory \(\displaystyle{ A=}\){\(\displaystyle{ 1,2,3}\)} \(\displaystyle{ B=}\){\(\displaystyle{ 5,6,7,8,9}\)}.
a) Ile jest wszystkich funkcji ze zbioru A w zbiór B?
b) Ile jest wszystkich funkcji ze zbioru A w zbiór B, które dla różnych argumentów przyjmują różne wartości?
c) Ile jest wszystkich funkcji rosnących ze zbioru A w zbiór B?

3. Ze zbioru wszystkich punktów, których odcięta należy do zbioru \(\displaystyle{ A=}\){\(\displaystyle{ -2, -1, 0, 1, 2}\)}, a rzędna należy do zbioru \(\displaystyle{ B=}\){\(\displaystyle{ 1,2,3,4,5,6,7,8}\)}, wybieramy trzy punkty. Ile mamy możliwości dokonania takiego wyboru, aby:
a) wszystkie wybrane punkty należały do jednej prostej równoległej do osi rzędnych;
b) wszystkie wybrane punkty były z pierwszej ćwiartki układu współrzędnych.

4. Przekątne ośmiokąta wypukłego mają tę własność, że żadne trzy nie przecinają się w jednym puncie. W ilu punktach przecinają się przekątne tego wielokąta?

[Wilkołak]

Zad 1.
a) Na początku i na końcu mają być dwa największe płótna czyli możesz te dwa obrazy rozmieścić na końcu i na początku tylko na dwa sposoby.
Pozostało 6 miejsc i 6 różnych obrazów, możesz je rozmieścić tam na \(\displaystyle{ 6!}\) sposobów.
Zatem wynik to: \(\displaystyle{ 2\cdot6!}\)

b) potraktuj te dwa największe obrazy jako jeden obraz. Wówczas masz za zadanie rozstawić 7 obrazów w 7 miejscach, czyli możesz to zrobić na \(\displaystyle{ 7!}\) sposobów. Trzeba wziąć pod uwagę jeszcze że te dwa największe obrazy, które są obok siebie moga być w układzie ab i ba zatem trzeba wynik przemnożyć jeszcze przez 2.
Zatem: \(\displaystyle{ 2\cdot7!}\)

Zad 2.
a) każdemu z trzech elementów ze zbioru A trzeba przyporządkować po 1 niekoniecznie różnym elemencie ze zbioru B.
Zatem: \(\displaystyle{ 5\cdot5\cdot5 = 5^3}\)

b) Najpierw wybieramy wartość dla argumentu 1 spośród 5 wartości, dla 2 spośród 4 wartości a dla 3 spośród 3 pozostałych wartości.
Zatem: \(\displaystyle{ 5\cdot4\cdot3}\)

c) Policz sobie na palcach

Zad 4.
To wygląda mniej więcej tak, że musisz obliczyć na ile różnych sposobów można dobrać dwie przekątne które się przecinają. Można to sprowadzić do problemu wyboru 4 wierzchołków tej figury wypukłej (jak masz 4 wierzchołki to prowadzisz dwie przekątne od 1 do 2 i od 3 do 4 w taki sposób, aby się przecięły, a jest tylko jedna taka możliwość). Zatem 4 wierzchołki spośród 8 możesz wybrać na \(\displaystyle{ {8\choose 4} = 70}\) sposobów.

-- 16 listopada 2009, 21:44 --

Zgodnie z prośbą:
c)
Można utworzyć tylko takie funkcje rosnące:
5,6,7
5,6,8
5,6,9
5,7,8
5,7,9
5,8,9

6,7,8
6,7,9
6,8,9

7,8,9

Czyli razem 10