Zestaw zadań ze wzorem Newtona

[Delkadi]

1) Wyznacz wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) spełniające równanie:

\(\displaystyle{ 2 \cdot {n \choose n-4}= {n+1 \choose n-3}}\)

2) Wyznacz wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) spełniające nierówność:

\(\displaystyle{ {n \choose 3}+ {n \choose 4} < {n+1 \choose 3}}\)

3) Wykaż, że jeśli: \(\displaystyle{ k \in N, n \in N}\) i \(\displaystyle{ k<n}\), to:
\(\displaystyle{ {n \choose k} + {n \choose k+1}= {n+1 \choose k+1}}\)

4) Zbadaj monotoniczność ciągu \(\displaystyle{ ( a_{n})}\) o wyrazie ogólnym:
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{(n+1)!-n!}{(n+1)!+n!}}\)

[rodzyn7773]

1) Rozpisz sobie to za pomocą wzoru. Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ (n+1)!=n!*(n+1)}\)
w ten sposób trochę ci się poskraca

2)skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ {n \choose 3}+ {n \choose 4} = {n+1 \choose 4}}\)

4)\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{(n+1)!-n!}{(n+1)!+n!}= \frac{n!(n+1-1)}{n!(n+1+1)} = \frac{n}{n+2}}\)

Teraz to łatwiej wygląda

[pawels]

Zostało jeszcze zadanie 3.

Zastosujemy prosty dowód kombinatoryczny. Rozważmy sobie pewien n+1-elementowy zbiór. Chcemy policzyc liczbę sposobów na jaka możemy wybrać jego k+1-elementowy podzbiór. Z jednej strony jest ot oczywiście \(\displaystyle{ {n+1\choose k+1}}\). Sztucznie wyróznijmy teraz jeden element. Mamy dwa przypadki- albo go wybieramy i dobieramy jeszcze k elementów spośród pozostałych n, albo go nie wybieramy i wybieramy k+1 spośród n pozostałych. Po zsumowaniu otrzymamy drugą stronę dowodzonej równości.

[Delkadi]

2)skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ {n \choose 3}+ {n \choose 4} = {n+1 \choose 4}}\)
A skąd to ci się wzięło?

[pawels]

Ta równość to po prostu zadanie 3. z k równym 3.

[Delkadi]

Mógłby ktoś rozpisać zadanie nr. 3 ?

[pawels]

Zastosujemy prosty dowód kombinatoryczny. Rozważmy sobie pewien n+1-elementowy zbiór. Chcemy policzyc liczbę sposobów na jaka możemy wybrać jego k+1-elementowy podzbiór. Z jednej strony jest ot oczywiście \(\displaystyle{ {n+1\choose k+1}}\). Sztucznie wyróznijmy teraz jeden element. Mamy dwa przypadki- albo go wybieramy i dobieramy jeszcze k elementów spośród pozostałych n, albo go nie wybieramy i wybieramy k+1 spośród n pozostałych. Po zsumowaniu otrzymamy drugą stronę dowodzonej równości.

Czytanie ze zrozumieniem.