Ile jest wszystkich permutacji?

[kiju]

Ile jest wszystkich permutacji h zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, w których występują dwa cykle długości 4?
Wskazówka:
(1) Jeśli h ma dwa cykle długości cztery, to h =a,b,c,d][s,t,u,v][w], gdzie
a, b, c, d, s, t, u, v, w są różnymi elementami ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Obliczyć, ile różnych takich "zapisów" można stworzyć.
(2) Należy uwzględnić to, że "zapisy": [a,b,c,d], [b,c,d,a], [c,d,a,b], [d,a,b,c] wyznaczają ten sam cykl.
(3) Należy uwzględnić również, że mnożenie cykli rozłącznych jest przemienne, czyli
[a,b,c,d][s,t,u,v] =s,t,u,v][a,b,c,d]

[BettyBoo]

Wybieramy dowolne 4 elementy z 9 podanych (kombinacja z 9 po 4) i ustawiamy je w jakimś porządku (permutacji jest 4!) z tym, że niektóre porządki dają te same permutacje (po 4). Z pozostałych 5 elementów znowu wybieramy 4 (kombinacja 5 po 4) i ustawiamy je w jakimś porządku (których jest 4!) pamiętając, że niektóre porządki dają te same permutacje (po 4). Całość dzielimy przez 2 (bo kolejność cykli długości 4 jest nieważna).

Mamy więc

\(\displaystyle{ \frac{{9\choose 4}\frac{4!}{4}{5\choose 4}\frac{4!}{4}}{2}}\)


Pozdrawiam.