10 000 jako iloczyn trzech liczb

[Nex Vaclav Friedrich]

Na ile sposobów mozna zapisać liczbe \(\displaystyle{ 10 000}\) za pomocą iloczynu trzech liczb naturalnych?
Iloczyny różniące się kolejnością czynników uważamy za rózne.

Prosiłbym o dokładne wyjaśnienie.

[Qń]

\(\displaystyle{ 10000=2^5\cdot 5^5}\)

Czynniki będą postaci:
\(\displaystyle{ \left( 2^{a_1} \cdot 5^{b_1}\right) \cdot \left( 2^{a_2} \cdot 5^{b_2} \right)
\cdot \left( 2^{a_3} \cdot 5^{b_3} \right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in \{ 0,1,2,3,4,5\}}\) oraz \(\displaystyle{ a_1+a_2+a_3=5, b_1+b_2+b_3=5}\).

Pytamy więc o ilość rozwiązań w danym zbiorze każdego z tych równań. Zgodnie ze znanym wzorem ta ilość to:
\(\displaystyle{ { 5+ 3-1 \choose 3-1} = 21}\)
zatem łączna ilość rozwiązań to \(\displaystyle{ 21^2=441}\) i taka właśnie jest liczba możliwych rozkładów.

Q.

[Nex Vaclav Friedrich]

Wielkie dzięki Qń