Ułóż największą liczbę.

[h0bbit]

Ułóż największą liczbę z liczb 1,2,3,4 pomiędzy nimi mogą występować dowolne działania. Każda z liczb może być wykorzystana tylko jeden raz.

[abc666]

Chyba musisz sprecyzować jakie działania bo chyba nie chodzi ci o coś w stylu

\(\displaystyle{ 21 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 43}\)

[h0bbit]

ok więc są to podstawowe działania mnożenie, dzielenie, dodawanie, odejmowanie, potęgowanie i pierwiastkowanie.

z góry dzięki

[abc666]

No to będzie na pewno wyrażenie postaci
\(\displaystyle{ a^{b^{\overline{cd}}}}\) albo \(\displaystyle{ a^{\overline{bcd}}}\)

1. przypadek
Łatwo wywnioskować, że że za d musimy podstawić 1. Mamy więc tylko 6 możliwości ustawienia pozostałych
\(\displaystyle{ 2^{3^{41}}\quad 2^{4^{31}}\quad 3^{2^{41}}\quad 3^{4^{21}}\quad 4^{2^{31}} \quad 4^{3^{21}}}\)
przekształcamy co możemy
\(\displaystyle{ 2^{3^{41}}\quad 2^{2^{32}}\quad 3^{2^{41}}\quad 3^{2^{22}}\quad 2^{2^{32}} \quad 2^{2 \cdot 3^{21}}}\)
Z tych o podstawie 2 największa jest \(\displaystyle{ 2^{3^{41}}}\) a z 3. \(\displaystyle{ 3^{2^{41}}}\)
Większa jest oczywiście \(\displaystyle{ 2^{3^{41}}}\).

Teraz 2. przypadek. Mamy tutaj tylko do rozpatrzenia 3 przypadki
\(\displaystyle{ 2^{431} \quad 3^{421} \quad 4^{321}}\)
Przekształcamy ostatnie do
\(\displaystyle{ 2^{642}}\)
Teraz trzeba by zdecydować która z tych liczb jest większa ale
\(\displaystyle{ 3^{421} < 4^{421} < 2^{3^{41}}}\)
oraz
\(\displaystyle{ 2^{642} < 2^{3^{41}}}\)

Dlatego największą liczbą jest \(\displaystyle{ 2^{3^{41}}}\). Oczywiście w paru punktach potrzebne jest krótkie uzasadnienie ale to zostawiam tobie bo jest to już proste.

Mam nadzieje że nie napisałem żadnej głupoty

[czeslaw]

Sprawdziłem i mam takie samo zdanie. Dodałbym jeszcze, że inaczej by się sprawy miały (początkowe założenie), gdyby wśród cyfr nie było jedynki.

[Inkwizytor]

Ciekawe czy uznano by \(\displaystyle{ 2^{3^{41}}!}\)
Swoją drogą niewyobrażalnie duża liczba

[h0bbit]

Bez \(\displaystyle{ !}\)

Ale \(\displaystyle{ 2^{3^{41}}}\) będzie największa dziękuję za pomoc