równania rekurencyjne

Suzi86 · Post autor: **Suzi86** » 21 paź 2009, o 15:02

Witam, czy mógłby mi ktoś pomóc? mam takie zadanie : rozwiąż następujące równania rekurencyjne:
\(\displaystyle{ a _{n}=a _{n-1} +2a _{n-2} , przy czym a _{0} =1 , a _{1} = 1}\)

a drugie :\(\displaystyle{ a _{n} + 3a _{n-1} +3a _{n-2} +a _{n-3} =0, przy czym a _{0} =0 , a _{1} =0 , a _{2}=3}\)

Z góry bardzo dziękuję , na podstawie tego spróbuję rozwiązać inne, proszę o możliwie jak najszersze wytłumaczenie bo kompletnie nie mogę tego pojąć:(

Dumel · Post autor: **Dumel** » 21 paź 2009, o 15:06

równanie charakterystyczne

Suzi86 · Post autor: **Suzi86** » 23 paź 2009, o 13:48

Dziękuję za wskazówki, ale ten temat jest mi obcy, mógłby mi ktoś dla przykładu rozwiązać?

Dumel · Post autor: **Dumel** » 23 paź 2009, o 17:37

więc masz równanie \(\displaystyle{ a_{n+2}-a_{n+1}-2a_{n}=0}\). prowadzi ono do równania charakterystycznego
\(\displaystyle{ 0=x^2-x-2=(x-2)(x+1)}\)
są dwa pierwiastki: 2 i -1, więc rozwiązanie ma postać
\(\displaystyle{ a_n=A \cdot 2^n + B \cdot (-1)^n}\)
teraz wystarczy tak dobrać A i B aby pasowały do pierwszych dwóch wyrazów. da to nam:
\(\displaystyle{ a_n= \frac{2}{3} \cdot 2^n + \frac{1}{3} \cdot (-1)^n = \frac{1}{3}(2^{n+1}+(-1)^n)}\)