Matematyka.pl

W sklad rady uczniow wchodzi po dwoch przedstawicieli klas IIa, IIb, IIc, IIIa, IIIb. Na ile sposobow mozna wybrac piecioosobowa delegacje tej rady, jesli przynajmniej jedna klasa ma byc reprezentowana przez dwoch uczniow?

Ma wyjsc 220. Tylko jak?

Zadania w których jest "co najmniej", "przynajmniej" robi się jako dopełnienie do całego zbioru. Zatem w radzie jest 10 uczniów a wybieramy 5ciu. Czyli są to podzbiory 5cio elementowe z 10. Zaprzeczeniem "przynajmniej jedna klasa ma byc reprezentowana przez dwoch uczniow" jest "z każdej klasy jest tylko jeden". Jednego z każdej klasy można wybrać na dwa sposoby (kombinacje jednoelementowe z 2). Wynik jest różnicą.

Poprawne rozwiązanie(dające wynik 220):

\(\displaystyle{ {5 \choose 1} \cdot {4 \choose 3} \cdot 2^{3} + {5 \choose 2} \cdot {3 \choose 1} \cdot 2}\)

Wyjaśnienie:
pierwszy przypadek - TYLKO jedna klasa będzie miała podwójnych reprezentantów:
[1z5] - wybieram 1 z 5 klas, z której wybiorę dwóch uczniów
[3z4] - wybieram 3 z 4 klas ( i muszę dokonać jeszcze wyboru których uczniów z tych klas wybrałem:)
[2^3] - bo wybraniu 3 z 4 klas, z nich do delegacji mogę wybrać jednego z dwóch uczniów (2*2*2)

drugi przypadek - DWIE klasy będą miały podwójnych reprezentantów:
[2z5] - wybieram 2 z 5 klas, z której wybiorę dwóch uczniów
[1z3] - wybieram, z której klasy wybiorę ostatniego ucznia
[1z2] - którego z dwóch uczniów wybiorę z wybranej już klasy (1z2 = *2)

Mam nadzieję, że wyjaśniłem.