Dowód nie wprost - pytanie

movax1 · Post autor: **movax1** » 10 paź 2009, o 20:43

Witam!
Mam zadanie:
Niech a, b, c, d, e, f, g będzie dowolną permutacją liczb od 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Wykazać nie wprost, że liczba: (a-1)(b-2)(c-3)(d-4)(e-5)(f-6)(g-7) jest parzysta.

Jako, że mam wykazać nie wprost, zakładam, że owe wyrażenie jest nieparzyste.

Widać, że dostępne są tylko 3 liczby parzyste (w zbiorze od 1 do 7). Jak to jednak zapisać, udowodnić?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 10 paź 2009, o 20:54

Skoro jest nieparzysta, to wszystkie składniki iloczynu są liczbami nieparzystymi. By różnica dwóch liczb była nieparzysta, jedna z nich musi być parzysta (i tylko jedna, ale to mniej ważne). Masz 7 różnic. A ile masz dostępnych liczb parzystych?

JK

movax1 · Post autor: **movax1** » 10 paź 2009, o 21:07

Ahaa.

Czyli podstawiając w dowolny sposób trzy parzyste liczby, wynikiem całego wyrażenia będzie liczba parzysta, a z założenia (nieprawda, że q) ma wyjść nieparzysta. I co z tym zrobić?

I co z przypadkiem, gdy a=1?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 10 paź 2009, o 21:52

movax1 pisze:Czyli podstawiając w dowolny sposób trzy parzyste liczby, wynikiem całego wyrażenia będzie liczba parzysta, a z założenia (nieprawda, że q) ma wyjść nieparzysta. I co z tym zrobić?

Będzie parzysta, bo (z zasady szufladkowej) w jednej różnicy muszą byc dwie liczby nieparzyste.
Wyszła Ci sprzeczność, zatem przypuszczenie o fałszywości tezy nie może być prawdziwe. Wobec tego teza (iloczyn jest parzysty) jest prawdziwa.

movax1 pisze:I co z przypadkiem, gdy a=1?

Zero jest liczbą parzystą.

JK