pewna tożsamosc

[blost]

Witam,

nie wiem jak udowodnic taka zaleznosc
dla kazdego n nalezacego do N
\(\displaystyle{ n! \le 2( \frac{n}{2})^n}\)
staralem sie zrobic to z indukcji ale dochodze do czegos takiego

\(\displaystyle{ n! 2^n \le (n+1)^n(n+1) - 2n^n}\)
potem rozpisalem jeszcze tam troszke na sumy ale i tak nie wyszlo mi nic ciekawgo... takze prosilbym o pewna pomoc (podpowiedz)

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \frac{n!}{2} \le ( \frac{n}{2} ) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ 1 \le \frac{n}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2 \le \frac{n}{2}}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ n \cdot \frac{1}{2} \le \frac{n}{2}}\)
Od pewnego miejsca te nierownosci są prawdziwe

Zatem iloczyn jest ....dokoncz

[blost]

w ten sposob... tyle ze to taki troszke chyba niezbyt "ladny sposob" zastanawialem sie czy mozna to jakos zrobic z tozsamosciami kombinatorycznymi... ewentualnie moze by jeszcze zrobic z tempem wzrostu funkcji co ? widzimy ze ta funkcja po prawej bedzie znacznie szybciej rosla...

[miodzio1988]

Zdefiniuj "szybciej rosła"

[Qń]

tyle ze to taki troszke chyba niezbyt "ladny sposob"

Ładny jak ładny, przede wszystkim niepoprawny, bo raczej nieszczególnie jest prawdą, że od pewnego miejsca \(\displaystyle{ n-1 \leq \frac{n}{2}}\).

Indukcyjnie można zrobić to tak:

Podstawa prosta, załóżmy więc w kroku indukcyjnym, że nierówność zachodzi dla \(\displaystyle{ n}\) i pokażmy, że wtedy:
\(\displaystyle{ (n+1)! \leq 2 \left( \frac{n+1}{2} \right)^{n+1}}\)

Mamy:
\(\displaystyle{ (n+1)! = n! \cdot (n+1) \leq 2 \left( \frac{n}{2} \right)^{n} \cdot (n+1) \leq^{?} 2 \left( \frac{n+1}{2} \right)^{n+1}}\)

Ostatnią nierówność napisałem ze znakiem zapytania, bo ją dopiero musimy dowieść. Ale łatwe przekształcenia pokazują, że jest ona równoważna \(\displaystyle{ 2 \leq \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{n}}\), a jako taka jest oczywiście prawdziwa. Kończy to dowód drugiego kroku.

Q.

[miki999]

A można i tak:
\(\displaystyle{ n! \cdot (n+1) \le 2 \cdot \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n} \cdot \left( \frac{n+1}{2} \right) \\ n! \le \left( \frac{n+1}{2} \right)^n}\)
Korzystając z tezy, należy jedynie wykazać, że:
\(\displaystyle{ \left( \frac{n+1}{2} \right)^n-2 \cdot \left( \frac{n}{2} \right)^n \ge 0 \\ czyli: \\ (n+1)^n-2n^n \ge 0}\)
czego udowodnienie nie powinno stanowić problemu.



Pozdrawiam.

[miodzio1988]

Miodzio się wstydzi, że chciał ukryć tak powazny błąd w swoim dowodzie

[blost]

dzieki
Miki i Qń zawstydzili Miodzia...

[Dumel]

nierówność \(\displaystyle{ (\frac{n+1}{2})^n \ge n!}\) można też udowodnić z Am-GM:
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2}= \frac{1+2+...+n}{n} \ge \sqrt[n]{1\cdot2\cdot...\cdot n} = \sqrt[n]{n!}}\)